求收敛域和收敛半径是数学中的一个重要问题，特别是在实分析、复分析和泛函分析等领域。这两个概念分别描述了函数序列或级数在某种意义下“趋于一致”的范围和程度。
1.求收敛域：
收敛域是指函数序列或级数在其上收敛的集合。求收敛域的方法主要有以下几种：
a)直接法：根据已知条件，直接判断函数序列或级数是否在某个区间内收敛。例如，对于幂级数，如果其通项满足|an|<1（n=0,1,2,...），则该幂级数在整个复平面上收敛。
b)极限法：通过计算函数序列或级数在某一点的极限来判断其收敛性。如果极限存在且等于函数值，则该点属于收敛域；如果极限不存在，则该点不属于收敛域。
c)夹逼定理：利用夹逼定理可以确定函数序列或级数的收敛域。夹逼定理是指存在两个函数f(x)和g(x)，使得对任意x∈D，都有f(x)≤g(x)≤h(x)，且f(x)和g(x)在D上连续，h(x)在D上可积。此时，h(x)在D上的原函数序列或级数也收敛。
d)判别法：利用已知的收敛准则（如柯西-黎曼准则、比贝尔判别法等）来判断函数序列或级数的收敛域。这些准则通常给出了判断收敛性的充分条件。
2.求收敛半径：
收敛半径是指函数序列或级数在其上收敛的最大距离。求收敛半径的方法主要有以下几种：
a)直接法：根据已知条件，直接计算函数序列或级数在某一点的收敛半径。例如，对于幂级数，如果其通项满足|an|<1（n=0,1,2,...），则该幂级数在整个复平面上的收敛半径为1。
b)极限法：通过计算函数序列或级数在某一点的极限来判断其收敛半径。如果极限存在且小于等于1，则该点属于收敛域；如果极限大于1，则该点不属于收敛域。
c)夹逼定理：利用夹逼定理可以确定函数序列或级数的收敛半径。夹逼定理是指存在两个函数f(x)和g(x)，使得对任意x∈D，都有f(x)≤g(x)≤h(x)，且f(x)和g(x)在D上连续，h(x)在D上可积。此时，h(x)在D上的原函数序列或级数的收敛半径为f(x)和g(x)在D上的最大距离。
d)判别法：利用已知的收敛准则（如柯西-黎曼准则、比贝尔判别法等）来判断函数序列或级数的收敛半径。这些准则通常给出了判断收敛性的充分条件。