微分方程，套了公式觉得繁琐得很，求大神有详细过程，高分求解敷衍勿扰

Question

如题所述

Answer 1

先齐次解
y''-2y'+2y=0
r^2-2r+2=0
r=1+i,1-i
y=e^x[Acosx+Bsinx]
所以右端项已经是齐次解的一部分
用待定系数法
y=e^x*x*(Csinx+Dcosx)
y'=(xe^x+e^x)(Csinx+Dcosx)+(xe^x)(Ccosx-Dsinx)
=e^x(x+1)(Csinx+Dcosx)+xe^x(Ccosx-Dsinx)
y''=e^x(x+2)(Csinx+Dcosx)+e^x(x+1)(Ccosx-Dsinx)+(x+1)e^x(Ccosx-Dsinx)+xe^x(-Csinx-Dcosx)

加一起
y''-2y'+2y=e^x[(x+2)(Csinx+Dcosx)+(x+1)(Ccosx-Dsinx)+(x+1)(Ccosx-Dsinx)+x(-Csinx-Dcosx)
-2(x+1)(Csinx+Dcosx)-2x(Ccosx-Dsinx)+2x*(Csinx+Dcosx)]
=e^x[sinx(C(x+2)-2D(x+1)-Cx-2C(x+1)+2Cx+2Dx)
+cosx((D(x+2)+2C(x+1)-Dx-2D(x+1)-2Cx+2Dx))]
=e^x sinx
看系数
-2D=1
2C=0
所以D=-1/2,C=0
特解为
y=(-1/2)x*cosx*e^x
通解为
y=e^x[Acosx+Bsinx]-(1/2)x*cosx*e^x

Answer 2

你想要不套公式的方法？？

还是要怎样？？
我没看明白追问

我想知道套了公式有没有错误，想对照一下，代回去的二阶实在是烦，所以想看看别人套公式的结果

追答

我算的是(c1+c2x)e^x-e^xsinx

追问

答案是二楼那位的是对的，抱歉了

追答

我看错了