tanx/x，在x趋于零正时候，不能替换吗？具体看下面。

Question

lim x-》0正，（tanx/x）^1/x^2
中的tanx，为什么不能替换为1

Answer 1

幂指函数求极限，只有当底数和指数两个部分的极限同时存在，假设是A和B好了，只有这种情况下幂指函数的极限才等于A^B。只要其中有一个部分极限不存在，你就不可以分别求极限。
你用tanx去换x，这个没问题，你是在求底数极限的时候，分子用等价无穷小去换因此求的底数的极限是1。可是指数呢？指数极限不存在。既然不存在，那你前面求底数极限这一步毫无意义，或者说你的做法就是错的。

Answer 2

等价无穷小的替换,谁允许你分子只换sinx的?等价替换不能用於加减法你们老师没教过吗? 分母替换成x3,分子是tanx-sinx,一样可以整体替换 tanx=x+x3/3+o(x3),sinx=x-x3/6+o(x3) ∴tanx-sinx=x3/2+o(x3) 原式=lim(x→0)[x3/2+o(x3)]/x3=1/2追问

结果不对，你在说什么？读读题好吗？

Answer 3

tanx在x趋近于0时是可以替换成x的

求采纳

Answer 4

x->0+
tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)
tanx/x = 1 +(1/3)x^2 +o(x^2)
lim(x->0+) [ tanx/x ]^(1/x^2)
=lim(x->0+) [ 1+ (1/3)x^2 ]^(1/x^2)
=e^(1/3)追问

第一步时，tanx/x中，tanx为什么不能等价于x？

追答

这等价于x，变成: 1^∞ : 这是没被定义，所以要根据泰勒展式

tanx = x+(1/3)x^3 +o(x^3)
tanx/x = 1 +(1/3)x^2 +o(x^2)

追问

非常感谢您的回答，怼我帮助很大，谢谢

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