为什么ln(1+x^2)~x^2

Question

题是这样的：当x趋近于0时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（）
A：x^2 B:1-cosx C:x-tanx D:ln(1+x^2)
解析因为1-cosx~1/2x^2 ln(1+x^2)~x^2 所以BD不满足题设条件，
为什么BD不满足？？？
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因为问题很多，所以分要省着用，不知道有没有诲人不倦的高手愿意指点一下呢？

Answer 1

对于B，用半角公式：
1-cosx=2(sin x/2)^2. 当 x->0 时，sin x/2~x/2，所以 1-cosx=2(sin x/2)^2 是 x^2 的同阶无穷小；
对于D，当 x->0 时，利用 ln(1+x)~x，将这里的x用 x^2 代换，就知道 ln(1+x^2)~x^2，它们也是同阶无穷小；
答案是C. 如果你学了Taylor公式，直接展开就可以了。用 L'Hospital 法则也可以做：
lim(x->0) (x-tanx)/x^2 (分子分母均为无穷小，可以用L’Hospital法则)
=lim(x->0) [1-(secx)^2]/2x
=lim(x->0) -(tanx)^2/2x
=lim(x->0) -(sinx)^2/2x * 1/(cosx)^2 (x->0 时 sinx~x，所以 (sinx)^2/x->0)
=0
也就是说 x-tanx 是 x^2 的高阶无穷小。

Answer 2

因为ln(1+x)等价于x，同时预处理能够
化繁为简

Answer 3

因为ln(1+x)~x,x→0

Answer 4

等价无穷小替换