概率方法在不等式证明中的应用
李小东
摘要：本文通过构造适当的概率模型，运用概率的性质、定理、公式对一些常用的不等式加以证明，并说明了概率方法的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性.阐述了概率方法在不等式证明中的应用，显示了概率应用的巧妙性和优越性，同时为如何解决一些不等式的证明提供了一种新的工具，从而拓宽了不等式证明的解题思路.
关键词：概率方法；随机变量；概率分布
1 前言
概率论是数学的一个分支，用概率的方法去证明一些不等式是十分可行的，也是十分重要的.著名数学家王梓坤院士在文献[3]中指出：“用概率的方法证明一些不等式或解决其它数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一.”本文通过列举几个实例，根据不等式各自的特点，构造适当的概率模型，选取恰当的概率的性质、定理、公式对不等式进行证明，阐述了概率方法在不等式证明中的应用.
2 利用概率的性质“对任意事件，有.”来证明不等式
对于一类不等式，可用如下的概率思想证明：找出所证不等式中相互独立的所有变量，使其分别对应一个随机事件的概率.
例1 证明：若，则.
证明 设两事件与相互独立，且，则有
[4]
因
故
即
3 利用“”来证明不等式
根据随机变量方差的定义知
又由知
例2设为任意个实数，证明：
证明 将结论变形为 ，根据数学期望的定义构造一个离散型的随机变量，使它的概率分布为
，
则
，
由 得
即
一般地，当所证不等式一边为两个数列，(其中）乘积的和的平方即(其中)，另一边为其中一个数列与另一数列平方乘积的和即或(其中)时，就可用如下的概率思想证明：构造离散的随机变量，使得它的概率分布为
或
然后利用数学期望不等式 来证明不等式
4 利用“当随机变量与相互独立时，有”来证明不等式
根据数学期望的性质及“若随机变量与相互独立时，有”，可得
由于 ，从而
例3 证明：.
证明 将结论变形为 ，则可设随机变量与相互独立，于是的概率分布为
，
的概率分布为
，
则
，，，
又因为
从而
亦即
.
5 利用“柯西—许瓦兹不等式”[5]来证明不等式
考虑实变量的二次函数
因为对一切，有，所以，从而二次方程或者没有实根，或者只有一个重根，由此知它的判别式非正，即
也就是
例4 设，，，证明：.
证明 构造随机变量与，使得的概率分布为
，
的概率分布为
，
的概率分布为
则
，，
由 ， 得
即
.
6 利用概率的单调性来证不等式
由知，且.再由概率的有限可加性，得
又由概率的非负性知，故.此即概率的单调性：对于事件、，若，则有.
例5 设，证明：
证明 假设事件、、、相互独立，且
，，，
因为
由概率的单调性知
由于、、、相互独立，所以
从而
又
同理
将上面三式代入式即得
7 小结
由以上例子可以看出，利用概率的方法去证明一些不等式，其关键是根据不等式的具体形式去建立概率模型，再运用概率论的相关性质、定理加以证明.这样，一方面可以为学习高等数学提供概率背景，沟通不同学科、不同方面之间的联系.另一方面，解题思路新颖、独特，是概率方法在数学其它分支中的应用的一个方面，另外，概率方法还可应用于数学分析中不等式的证明，是证明题的又一种方法，值得在教学研究中注意运用.
参考文献
[1]王梓坤，概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社，1979.
[2]严士健，刘秀芳，徐承彝，概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，1990.
[3]盛骤，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001.
http://www.docin.com/p-245980076.html追问我主要是想要三篇英文的作为我论文的参考文献。