求证 等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高

Question

如题、、速度~！
要有具体过程啊！

Answer 1

证明过程如下：

三角形ABC高为h，边长为a，面积为S，任一点P到三边AB，AC，BC的高分别为h1，h2，h3。则：

S△ABP+S△ACP+S△BCP

=1/2AB*h1+1/2ACh2+1/2BCh3

=1/2a(h1+h2+h3)

S△ABC=1/2ah

因为：S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP

所以：1/2ah=1/2a(h1+h2+h3)

可以得到：h=h1+h2+h3。

即等边三角形内任意一点到三边距离和等于任意一边上的高。

扩展资料：

等边三角形的性质

（1）等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

（2）等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。（三线合一）

（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线。

（4）等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）

（5）等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。（等于其高）

（6）等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（因为等边三角形是特殊的等腰三角形）

Answer 2

设三边长是同一定值a

拿出纸来画：
作出P点到三边的高（其长度即到三边的距离b,c,d）
分别连接PA,PB,PC。
SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPCA
>1/2×a×高＝1/2×ab+1/2×ac +1/2×ad
>高＝b+c+d
∴等边三角形内任意一点P到三边距离和等于一边上的高

利用面积法证明。
把这个点跟三角形三个顶点连接起来，把原三角形分成三个小三角形，这三个小三角形面积的和就等于原三角形的面积，结合三角形的面积公式，就可以得到我们想要的结论了本回答被提问者采纳

Answer 3

设三角形为ABC，内部的点为P，P到三边的距离为h1,h2,h3
△ABC的高为h，边长为a

连接PA，PB，PC
利用面积可得：
1/2ah1+1/2ah2+1/2ah3=1/2ah
所以：h1+h2+h3=h
是定值
所以等边三角形内任意一点，到三边距离的和，等于它的高

Answer 4

三角形ABC高h
边长a,面积S，任一点P到三边AB，AC，BC高h1,h2,h3,
S△ABP+S△ACP+S△BCP
=1/2AB*h1+1/2ACh2+1/2BCh3
=1/2a(h1+h2+h3)
S△ABC=1/2ah
因为：
S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP
所以：
1/2ah=1/2a(h1+h2+h3)
所以：
h=h1+h2+h3
等边三角形内任意一点到三边距离和等于任意一边上的高