初中数学：为什么说反比例函数的轴对称性是关于直线y=x，y=-x对称？

Question

希望详细解答一下，谢谢。

Answer 1

解答：反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点。反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴有两条为直线y=x和直线y=-x。证明：设点(a，b)在反比例函数y=k/x图像上，则b=k/a，即ab=k那么a=k/b所以点(b，a)也在这个图像上，而点（a，b）和（b，a）是关于直线y=x对称的因此说函数y=k/x的图像关于直线y=x成轴对称图形，即它的图像对称轴为直线y=x；而(-a)(-b)=k-a=k/(-b)即点(-b,-a)也在其图像上，而点（a，b）和（-b，-a）是关于直线y=-x对称的，同样可知：直线y=-x也是该图像的对称轴。

答1：反比例函数y=k/x(其中k是常数)可变为x=k/y,所以直线y=x是它的对称轴；同理，y=k/x可变为-y=k/(-x),所以直线y=-x是它的对称轴。:答2：双曲线y=k/x按直线y=x(或y=-x)对折，两部分能重合，所以直线y=x或y=-x是它的对称轴。

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

Answer 2

要证明图像关于y=x对称，只要证明(x,y)的对称点(y,x)也在图像上即可。
设P(x,y)是反比例函数y=k/x图像上任意一点，它关于y=x的对称点为Q(y,x)。很显然，Q也在双曲线上，因为Q的坐标满足xy=k这个关系。又根据P点的任意性，得到反比例函数的图像关于y=x对称。
同理可证(x,y)关于y=-x的对称点(-y,-x)也在图像上，所以图像关于y=-x对称。

Answer 3

答1：反比例函数y=k/x(其中k是常数)可变为x=k/y,
所以直线y=x是它的对称轴；
同理，y=k/x可变为-y=k/(-x),
所以直线y=-x是它的对称轴。
:答2：双曲线y=k/x按直线y=x(或y=-x)对折，两部分能重合，
所以直线y=x或y=-x是它的对称轴。追问

感谢你的回答，但我还想请教一下。
y=k/x确实是可以变为x=k/y，但怎么得出“直线y=x是它的对称轴”这个结论？

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Answer 4

如果曲线y=f(x)关于y=x对称，则点(y,x)也在曲线上，即满足x=f(y)；
如果曲线y=f(x)关于y=-x对称，则点(-y,-x)也在曲线上，即满足x=-f(-y).
反比例函数的解析式为y=k/x
把点(y,x)带入得x=k/y，则y=k/x，所以反比例函数关于y=x对称；
把点(-y,-x)带入得 - x=k/(-y)，则y=k/x,所以反比例函数关于y= - x对称.

Answer 5

反比例函数是y＝k/x,函数图像是双曲线，当然关于y＝x图像对称。