高3数学函数

Question

已知F（X）是在定义在R上的恒不为0的函数，且对于任意的x,y属于R，都满足f(x)·f(y)=f(x+y)
1。求f(0)的值并且证明对任意的x属于R，有f(x)大于0
2。设当x小于0时，都有f(x)大于f(0)证明f(x)在（-无穷大，+无穷大）是减函数

Answer 1

1.令X=Y=0，则f(0)=(f(0))^2，
又f(0)不等于0，所以f(0)=1。

假设存在m使f(m)<0
由题得f(m)=(f(m/2))^2>0 矛盾
所以不存在符合条件的m，命题得证。

2.设a>b，则由上述证明得f(a)>0，f(b)>0。
那么，f(b)=f(a)*f(b-a)
所以f(b)/f(a)=f(b-a)
又因为a>b，所以b-a<0
所以f(b-a)>f(0)=1
即f(b)/f(a)>1
即f(a)<f(b)
所以f(x)在R上单调递减。

Answer 2

令x=0，y=1
则f(0)f(1)=f(0+1)=f(1)
所以f(0)＝1
对任意的x
地f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)^2>0
设 x1<x2
t=x1-x2<0
x1=x2+t
f(x1)=f(x2+t)=f(x2)f(t)>f(x2)f(0)
所以 f(x1)>f(x2)