高中数学立体几何题

下面是关于三棱锥的四个命题
1.底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥
2.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
3.底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥
4.侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥
1、4为什么正确？2、3为什么错误？

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推荐答案 2009-08-15

底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥

根据定义来就行了!

1,4,可以证明,三个侧棱相等.且顶点在底面的射影是底面三角形的中心（由于是正三角形，四心合一）.

2:
底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

这个可以举出一个反例来:
正三角形ABC为底,经过A点作一直线垂直于ABC,取直线上一点P.连接PB,PC.

PB=PC
三角形PBC为等腰三角形.

可是显然三棱锥不是正三棱锥.

3.问题也可以举出反例：
三棱锥P-ABC，面PBC与底面ABC成的双面角是钝角，这时，P点在面ABC的射影，落在三角形ABC形外，另外，过P点作AB，AC的高，会在他们延长线上。
但是这时满足侧面的高都相等的条件！

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其他回答

第1个回答 2009-08-15

命题2，都是等腰三角形说法不严谨，题目并没有说是哪两个边相等，也许会是底边的等边三角形的一条边和一侧边相等，但是这种情况拼出来的并不是正三棱锥
命题3，侧面面积相同，并没有确定那条边做底边只类的问题，三角形面积底乘高除2，主要问题是出在底边和高的确定这里
没有图，粗略说一下，自己可能还得琢磨琢磨

第2个回答 2009-08-15

我觉得3也是正确的，3个三角形都以地面做底边的话，那么高是相等的，也就是顶点到底面3条边的距离相等，设长度为d，再设顶点到底面的距离为h，那么3个二面角都有sinα=h/d，也就是可以推出侧面与底面所成的二面角都相等的结论

第3个回答 2009-08-15

1、过顶点做底面的垂线就是底面的中心。
这些都可以通过画图证出！耐心画图吧

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