在平面直角坐标系中，

Question

A（1，0),B(0,1),矩形OMPN的相邻两边在坐标轴的正半轴上，三角形AOF相似于三角形BEO，求矩形OMPN的顶点P必在某个反比例函数的图像上，并求解析式

Answer 1

平面直角坐标系2007-07-27 22:22一、一周知识概述

1、有序实数对

有顺序的两个数a与b组成的数对，叫有序实数对，记作（a,b）.利用数对可以准确地表示出一个位置.

2、常见的确定平面上的点位置常用的方法

（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置．

（2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置.

3、平面直角坐标系的定义

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴，铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点.

4、平面直角坐标系的结构

x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称之为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.如图，坐标轴不属于任何象限.

5、点的坐标

在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a,b）叫做P点的坐标.

6、坐标平面内的点P（a,b）的坐标特征：

象限
内的
点
点P在第一象限
a>0,b>0

点P在第二象限
a<0,b>0

点P在第三象限
a<0,b<0

点P在第四象限
a>0,b<0

坐标
轴上
的点
点P在x轴上：y=0,x为一切实数
点P在x轴正半轴上：a>0,b=0

点P在x轴负半轴上：a<0,b=0

点P在y轴上：x=0，y为一切实数
点P在y轴正半轴上：b>0,a=0

点P在y轴负半轴上：b<0,a=0

7、坐标平面上对称点的坐标特征

（1）关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的两点的横、纵坐标都互为相反数.

8、两坐标轴夹角的平分线上的点的坐标的特征

（1）第一、第三象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横、纵坐标相等；

（2）第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，一般记作（a,－a）.

坐标平面内的点和有序数对是一一对应的.

二、重难点知识归纳

1、有序实数对的定义

2、常见的确定平面上的点的位置常用的方法.

3、平面直角坐标系的概念.

4、点的坐标的意义.

5、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征.

三、典型例题剖析

例1、如图， 表示三经路与一纬路的十字路口， 表示一经路与三纬路的十字路口，如果用(3,1)→(3,2)→(3,3)→(2,3)→(1,3)表示由到的一条路径，用同样的方式写出另外一条由到的路径：(3,1)→(______)→(______)→(______)→(1,3)．

分析：

用数对表示路口的位置，前一个数表示南北向所在的第几个经路，后一个数表示东西向所在的第几纬路.

答案：

2，1；2，2；2，3(答案不惟一)

例2、如图是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，对我方舰艇来说：

（1）北偏东方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？

（2）距我方潜艇图上距离为1cm处的敌舰有哪几艘？

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？

分析：

本题以潜艇为观察点，确定敌舰的位置都是相对于我方潜艇而言的.

解：

（1）如图，对我方潜艇来说，北偏东40°的方向上有两个目标：敌舰B和小岛．

要想确定敌舰B的位置，仅用北偏东40°的方向是不够的，还需知道敌舰B距我方潜艇的距离.

（2）距我方潜艇图上距离1cm处的敌舰有两艘：敌舰A和敌舰C.

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：距离和方位.如对我方潜艇来说，敌舰A在正南方向，图上距离为1cm处；敌舰B在北偏东40°，图上距离为1.4cm处；敌舰C在正东方向，图上距离为1cm处.

例3、在直角坐标系中描出下列各点(-5,2)、(-4.5，-2)、(-3,-3)、(0,0)、(3.5,1)、(6,0)，并将所得的点用线段顺次连结起来．观察所得的图形，你觉得它象什么？如果是一个星座的美丽图案，请指出其名称．

分析：

先在x轴上找出表示横坐标a的点，再在y轴上找出表示纵坐标b的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点（a,b）.

答案：如图，象勺子，北斗七星．

例4、（1）若点（5－a,a－3）在第一、三象限角平分线上，求a的值.

（2）已知两点A（－3,m）,B(n,4).若AB‖x轴，求m的值，并确定n的范围.

（3）点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求点P的坐标.

分析：

（1）中在一、三象限夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；

（2）与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；

（3）中的P点有多个.

解：

（1）因为点（5－a,a－3）在第一、三象限角的平分线上，所以5－a=a－3，所以a=4；

（2）因为AB‖x轴，所以m=4，因为A、B两点不重合，所以n≠－3；

（3）设点P的坐标为（x,y），由已知条件，得|y|=3,|x|=4，所以y=±3,x=±4.

所以P点坐标为（4，3）或（－4，3）或（4，－3）或（－4，－3）.

例5、已知点A（a－1,－2），B（－3,b＋1），根据以下要求确定a、b的值.

（1）直线AB‖y轴；

（2）直线AB‖x轴；

（3）A、B两点在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上.

分析：

（1）两点连线平行y轴，这两点的横坐标相同，但纵坐标不相同；

（2）两点连线平行x轴，这两点的纵坐标相同，但横坐标不相同；

（3）当两点位于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的纵、横坐标都互为相反数.

解：

（1）∵直线AB‖y轴，∴a－1=－3,b＋1≠－2，

即a=－2,b≠－3.当a=－2且b≠－3时，直线AB‖y轴.

（2）∵直线AB‖x轴，∴b＋1=－2,a－1≠3,即b=－3,a≠－2.

当b=－3且a≠－2时，直线AB‖x轴.

（3）∵ 点A（a－1,－2），B（－3，b＋1）在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上，

则点M（x,y）中x＋y=0.

即

当a=3,b=2时，A、B两点位于第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上.

Answer 2

作D∈BC,CD∶CB＝1∶√2.设D（a,b）
（a+4）/8＝1/√2.a＝4（√2-1）.
（b-1）/-2＝1/√2.b＝-（√2-1）.D（4（√2-1）.-（√2-1））.
AB斜率＝-2.过D作直线DE‖AB.E∈AC.
DE的方程:y+（√2-1）=-2（x-4（√2-1））.
即y+2x-3（√2-1）＝0.

Answer 3

设D点坐标是
(x,y)
有三种可能
(1)
点D与点A是相对的顶点，则A,D的中点就是BC的中点，于是得方程组：

（x-2)/2=(-4+2）/2

(y+3)/2=(-1+0)/2

解得

x=0,

y=-4
(2)
点D与点B是相对的顶点，则
BD的中点就是AC的中点，所以得方程组：

（-4+x）/2=(-2+2)/2

(y-1)/2=(3+0)/2

解得：
x=4,

y=4
(3)
点D与点C是相对的顶点，则DC的中点就是AB的中点，于是得方程组：

（x+2）/2=(-2-4)/2

(y+0)/2=(3-1)/2

解得
：
x=-8,

y=2
所以D的坐标有三种情况：
（0，-4）或（4，4）,或（
-8，2）

Answer 4

见下图。A、B、C 有3个点，所以对应的D有3个点；坐标为 D1(4，4)，D2(-8，2)，D3(0，-4)；

Answer 5

解：(1)C关于直线OB对称，AB=BC
∵
OB⊥AB,OB=√3,OA=2
∴
AB=1=OA/2
∴
∠AOB=30°,∠OAB=60°,又AC=2=OA
∴
△OAC是
等边三角形
∵
OD=2OA=4,A是OD的中点，AD=2
作PE⊥OA于E,则OE=OP/2=(2-X)/2
PE=OP*√3/2,DE=4-OE=4-1+X/2=3+X/2
∵
Rt△DPE∽Rt△DAM，则
AM:PE=AD:PD,AM=PE*AD/PD
Y=0.5*AM*PD=0.5*PE*AD=(2-X)√3/2=√3-X√3/2
若
二次函数
Y=-2X^2-(7K-3√3)X+√3K的图像关于Y
轴对称
,即:K=3√3/7
当X=1/2时，PC=1/2,OP=3/2,OE=3/4,PE=3√3/4,DE=4-OE=4-3/4=13/4,PD^2=PE^2+DE^2
PD^2=(169+27)/16=196/16,PD=7/2,AM=PE*AD/PD,K=
7AM
/2PD=7PE*AD/2PD^2=7PE/PD^2
=(7*3√3/4)*(16/196)=3√3/7,将7K=3√3代入二次函数得：Y=-2X^2+9/7，
即，Y-9/7=-2X^2,该二次函数关于X=0对称，显然也关于Y轴对称。