求解一道复变函数题目 求详细过程

Question

如题所述

Answer 1

∂v/∂x=2u∂u/∂x，∂v/∂y=2u∂u/∂y，
根据f（z）解析，u、v满足C.-R.方程
∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x
联立得
∂u/∂x=2u∂u/∂y=-2u∂v/∂x=-4u∂u/∂x
（1+4u）∂u/∂x=0→
u=0或∂u/∂x=0
若u=0，则必有∂u/∂x=0，∂u/∂y=0，
根据C.-R.方程
∂v/∂x=0，∂v/∂y=0，
所以v=0
所以f（z）=u+iv=0
若∂u/∂x=0，u≠0
由∂u/∂x=2u∂u/∂y得∂u/∂y=0
从而u=0，所以这种情况不存在

故只需讨论u=0情况