一道高中抛物线证明题

Question

求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切。

Answer 1

用几何法证明较简单些。
设AB为焦点弦，其中点为M，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别是D、C。
则由抛物线的定义易知：|AD|+|BC|=|AB|
取CD的中点N，则|MN|=(|AD|+|BC|)/2=|AB|/2
从而 ⊿ABN为Rt⊿，N为直角。（这点由初中平面几何知识易得）
所以，以焦点弦AB为直径的圆就的Rt⊿ABN的外接圆，
由于CD过N点且垂直于半径MN，
所以 CD是圆M的切线。
从而，以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线准线相切。