线性空间

Question

设v1,v2,v3是线性空间V的3个非平凡子空间，证明，V中至少有一个向量不属于v1,v2,v3中任何一个。 谢谢老师

Answer 1

简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。
1. V对加法成Abel群，即满足： 　　（1）（交换律）x+y=y+x； 　　（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z） 　　（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x； 　　（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0； 　　2. 数量乘法满足： 　　（5）1x=x； 　　（6）k(lx)=(kl)x； 　　3. 数量乘法和加法满足： 　　（7）（k+l）x=kx+lx； 　　（8）k（x+y）=kx+ky． 　　其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。 　　数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。 　　当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。
编辑本段简单性质
　　（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。 　　（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。 　　（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。 　　（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。
求采纳为满意回答。

Answer 2

首先如果他们之间有包含关系容易证明，假设没有包含关系，可以找到a1∉v1，a2∉v2，a3∉v3，如果a1不属于v2也不属于v3则已经证明，如果a1属于v2，则a1+a2一定不属于v2,（如果属于v2则a2=a1+a2-a1属于v2矛盾）也不属于v1（证明一样）。这样也就是对于两个空间来说可以找到一个不属于任何一个空间的向量。我们再选取b1不属于v1也不属于v2；b2不属于v2也不属于v3，可以证明如果b1不属于v3则结束了，如果属于则b1+b2不属于他们三个（类似）本回答被提问者采纳