设å½æ° Ï (x)è¿ç»ä¸æ»¡è¶³ Ï (x)=e^x+ â«(x,0)(t-x) Ï(t)dt,æ±Ï(x)
解ï¼
Ï (x)=e^x+ â«[0âx] (t-x) Ï(t)dt
=e^x+ â«[0âx] tÏ(t)dt-xâ«[0âx] Ï(t)dt
两边对xæ±å¯¼å¾ï¼
Ï'(x)=e^x+ xÏ(x)-â«[0âx] Ï(t)dt-xÏ(x)
=e^x-â«[0âx] Ï(t)dt (1)
两边å对导ï¼
Ï''(x)=e^x-Ï(x),å³ï¼Ï''(x)+Ï(x)=e^x,äºé¶å¸¸ç³»æ°éé½æ¬¡çº¿æ§å¾®åæ¹ç¨
å°x=0代å
¥åæ¹ç¨ï¼Ï(0)=1
å°x=0代å
¥ï¼1ï¼å¾ï¼Ï'(0)=1,è¿æ¯åå§æ¡ä»¶
é¦å
解é½æ¬¡æ¹ç¨ç解,ç¹å¾æ¹ç¨ä¸ºï¼r²+1=0,r=±i
é½æ¬¡æ¹ç¨çé解为ï¼C1cosx+C2sinx
设ç¹è§£ä¸ºï¼y*=ke^x,代å
¥å¾®åæ¹ç¨å¾ï¼ke^x+ke^x=e^x,åk=1/2
å æ¤å¾®åæ¹ç¨çé解为ï¼y=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x
å°åå§æ¡ä»¶Ï(0)=1,Ï'(0)=1代å
¥å¾ï¼
1=C1+1/2
1=C2+1/2
å¾ï¼C1=1/2,C2=1/2
å æ¤Ï(x)=(1/2)cosx+(1/2)sinx+(1/2)e^x
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