原理1：被测体系所有可能状态由一个可分的希尔伯特空间描述。概念1：希尔伯特空间。完备的复内积空间叫做希尔伯特空间。内积是线性空间上的一个正定的、共轭对称的、半共轭线性半线性的二元函数，它给线性空间带来了正交，带来了长度，也带来了拓扑。对于无限维空间，拓扑决定了空间的结构，它可以看出一个空间是否完备，不完备的空间中存在空洞，只有填补了空洞，才有可能使得：1.存在一组正交归
一基，使得任何态矢量都可以在基上展开。2.任何一个态矢量都一一对应着一个有界线性泛函。这就是完备性，没有这个保证，我们无法让任何态表示成一些基本态的叠加，我们无法认为左右矢是一一对应的。概念2：可分。有可数的稠密子集的拓扑空间叫做可分的。可数是指有限或者可以与自然数建立一一映射，虽然这个集合是无限的，但我们可以把元素一个一个排开，从第一个，第二个，第三个，无限地排下去。整数可数、有理数可数、代数数可数、实数不可数。稠密是指此集合的闭包是全空间。对于距离空间，稠密等价于，对于任意点A和任意小的距离d，我都可以在此集合中找到一个点，使它与A的距离小于d。有理数在实数中稠密，所以实数是可分的。可分的希尔伯特空间总有可数的正交归一基，总有一个矢量，它与所有基都不正交。不可分的希尔伯特空间，有不可数个正交归一基，但任意矢量至多与可数个基不正交。也就是说，只有可分的空间，我才敢断言，存在一个态矢量，它在所有基上的分量都不为0！概念3：态矢量和态可分希尔伯特空间中的任何一个矢量，都叫做态矢量，而共线的态矢量描述了同一个态。|X>和k|X>是同一个态。与非0矢量|X>共线的所有矢量，叫做线性空间中的一条射线，态与射线是一一对应的。原理2：可观测的物理量，可以由希尔伯特空间中的一个稠定自伴算子来描述。由于右矢（希尔伯特空间中的点）与左矢（希尔伯特空间上的有界线性泛函）是一一对应的，那么我们可以问及这么一个问题，任何一个算子A，是否有一个算子B使得：这个B叫做A的伴算子，记作。其中D(B)是B的定义域。就像函数有定义域，算子也有定义域，如果算子的定义域是全空间的稠密子空间，这个算子叫做稠定的。稠密的子空间中存在着全空间的基，只是由于这个子空间不是闭子空间，它有漏洞。如果我们重新定义内积：那么A的定义域虽然依照原来的内积不是闭的，但可能对于这个新的内积是闭的，如果这样我们称A是闭的。如果A比A'的定义域大一点，但在A‘的定义域D(A')中，A和A’相等，即它们作用于D(A')中任意矢量都有相同的结果，我们称A‘是A的部分算子。两个算子相等是指它们有相同的定义域，而且对定义域中任何矢量作用后有相同的结果。对称算子是指它是它的伴算子的部分算子；自伴算子与它的伴算子严格相等。物理上的“厄米算符”虽然从文字上是指数学上的“对称算子”，但由于物理书都没有太考虑算子的定义域问题，而且强调“厄米算符”有实数观测值，应当把物理书中的“厄米算符”理解为自伴算子。原理3：物理量的观测值，是它的谱点，物理量观测值处于集合X中的概率等于<x|E(X)|x>，其中E是该物理量对应的谱族，x是系统所处的状态对应的一个归一化态矢量。概念1：谱算子A的预解式定义为，使得预解式在全空间都有定义的，叫做算子A的正则点，其他的点叫做谱点。谱包括：1.点谱，不是单射，所以它的逆不存在。2.连续谱，不是满射，所以它有逆，但逆的定义域不是全空间，但是全空间的稠密子空间；3.剩余谱，不是满射，它的值域也不在全空间稠密。对自伴算子，也就是物理量而言，剩余谱为空集，所以只有点谱和连续谱，而且其谱集是实数集的子集。概念2：谱族谱族是一个把代数中的集合映射为希尔伯特空间中的正交投影算子的映射。投影算子是满足的算子。自伴的投影算子叫做正交投影算子，它是有界的，除0算子外，其界为1。谱族满足3个性质：1.任意可数个不相交集合满足；2.空集的谱族等于零算子；3.全集的谱族等于恒等算子。注意两个正交投影算子之和为投影算子，当且仅当它们之积为0算子。概念3：自伴算子对应的谱族数学家冯诺依曼（对就是那个后来搞计算机的那个）证明了：任何一个稠定的自伴算子A都对应着一个唯一的谱族，使得：积分空间是算子A的谱集。这个和被测体系的归一化态矢量|x>构成了一个概率测度：这个概率就是当系统处于|x>状态，物理量A的测值在X中的概率。冯诺依曼的著作《量子力学的数学原理》讨论了自伴算子的谱分解，并赋予了量子力学严格的数学基础。原理4：处于|x>描述的状态的体系，在观测到结果之后，状态变为。这个过程叫做量子态的坍缩。量子态坍缩，与唯心主义无关，因为观测任何系统都必须使用物质的工具，在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测系统发生相互作用。要观测粒子的自旋，必须外加磁场，要观测粒子的能量和动量，必须用另一个粒子去轰击它。观测结果不一定是个实数，也有可能是一个实数的集合，因为观测总是存在误差。如果空间不是离散的，意味着我们不可能找到一个尺度，它足以分辨任意两个点。所以测量一个粒子的位置，我们总是需要带着误差。这意味着位置这个物理量对应的自伴算子，没有点谱，只有连续谱。原理5：对系统的任何操作，可以视为对描述系统的态矢量做了一个幺正变换。物理上的幺正变换，数学上叫做酉算子。如果算子U能够保持矢量的内积不变：它被称为等距算子，而可逆的等距算子称为酉算子。酉算子的逆等于他的伴算子，它的逆也是酉算子。时间演化，也是一种幺正变换：幺正性要求，无穷小生成元H，是自伴的，它自然导出薛定谔方程：原理6：交换两个全同粒子的状态，不改变系统的状态。粒子置换算子作用于全同粒子系统，结果等于乘上了一个复数因子，幺正性要求这个因子的模为1。其中复因子为1的叫做玻色子，复因子为-1的叫做费米子。目前我们只看到了这两种粒子。也有人猜测这个因子还能为其他复数，这种粒子称为任意子。
量子力学的基本理论是：「态」(state)、「观测量」(observable)、「观测结果」三者应该是不同的东西，并且这个理论应该有能力描述经典概率。在这个前提下我们自然会得到量子力学（至少是大部分内容）。
物理学是预测「对一个系统（态）做一个实验（观测量）得到的实验结果（观测结果）」的，也就是说这三者是任何一个物理理论的基本构成元素，一个好的理论中这三者应该自然地被区分开。
然而经典力学不是这个样子的：在经典力学中，当我们写下 (q(t),p(t))时，既可以指一个系统处在这个状态，也可以指「观测系统在 时刻的动量与位置」，还可以指系统在时刻的观测到的动量与位置。这种三位一体是不好的，很容易造成混淆（我记得 GR 的教材里面很可能会强调这个事情，因为那里源自经典力学的记号就很容易出问题了）。
