初中数学课上，我们把一元二次方程的解分为三种情况：有两个不同的解、有两个相同的解、无解。具体来说，我们推导出了求根公式：x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} 。求根公式中根号的存在正是出现『无解』情况的原因：当b^2-4ac<0时，根号下是负数，（在实数域内）无法计算，所以方程无解。十六世纪的人们也是这么想的。对于x^2+1=0这样的方程，x=\sqrt{-1}在当时的人们眼中就是方程无解的标识，因为对负数开根号没有数学意义。那三次方程是什么情况呢？十六世纪意大利数学家Tartaglia给出了形如x^3=px+q的三次方程的公式（然而人们却称之为Cardano公式，他俩也因此结怨）：（推导过程以及一般形式的解见Wikipedia：三次方程）于是，方程x^3=15x+4的解就是按照之前的想法，i=\sqrt{-1}根本没有意义，所以意味着方程无解。可是x=4就满足这个方程呀！那\sqrt[3]{2+11i}+ \sqrt[3]{2-11i}又是什么情况？1572年，意大利数学家Bombelli做了一个尝试——如果把i当作一个平方是-1的数来计算。这要看数系的范围，如果在实数范围内，负数就没有平方根；如果在复数范围内，负数有两个平方根，这时会引进一个虚数单位i（i^2=-1）来表示，举最简单的例子就是-1的平方根就是±i。一般来说在有理数的范围内，负数是不可以开方的。但是对于复数来说，因为定义了i²=-1，所以在考虑复数的情况下，平方根定义:一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根. 算术平方根定义 若一个正数x的平方等于a，即x^2=a，则这个正数x为a。
在16世纪之前，人们都没把负数当成“正常”的数，卡尔达诺的一元三次方程原始论文里，把一元三次方程分成了13种，每种各给出了一个求根公式，x^3+px=q和x^3+q=px , (p,q>0)在当时的人看来是完全不同的方程，要用完全不同的求根公式。对负数尚且如此，对负数开根号就更被视为是不可能的事情，\Delta <0的一元二次方程被直接认为是无解的。而一元三次方程的卡尔达诺公式里，会出现负数开根号，再和实数加减运算再开三次方，组合却得到实根，这使得人们不得不正视“对负数开根号”这样一种运算，从而开始了对复数的最初认识。
简而言之，就是光看二次方程你发现不了复数的“用处”，因为你无非只是算出一个完全不知道什么鬼的玩意。你要发现一个概念“有用”，这个概念才有意义，可以拿来研究更先进的内容。数学概念也是讲“用处”的，虽然不是大众想的什么造火箭炒股票什么的。简而言之，就是光看二次方程你发现不了复数的“用处”，因为你无非只是算出一个完全不知道什么鬼的玩意。你要发现一个概念“有用”，这个概念才有意义，可以拿来研究更先进的内容。数学概念也是讲“用处”的，虽然不是大众想的什么造火箭炒股票什么的。
