可相似对角化的矩阵不一定满秩对吧可以有特征值为0,既可以行数不等于0,可以线性相关
但是有一个条件叫必须存在n个线性无关特征向量,这个怎么理解呢?怎么体现在特征值上面呢?有没有比较直观一点的解释?
我知道普遍的方法是n-r(入E-A)来确定有几个线性无关特征向量,但是,一直不是很理解,若有线性相关的特征向量是个什么样的情况呢?特征向量不都是俩俩正交的么
特征值可以是0,对角化后不改变秩,所以不一定满秩。
|λE-A|可以解出n个特征值,这n个特征值可以是多重的(二重的算两个),特征值也可以为0(有0特征值时,|A|=0,也就是不是满秩的)。
如果n个特征值都不相同,那么必然有n个不相关的特征向量。也就是一定能对角化。
但是如果有多重的,那么那个多重的特征值,未必能有对应数目不相关的特征向量。例如有一个r重特征值,那么这个特征值能对应r个不相关特征向量,那么还是可对角化。但是这个r重特征值,未必能对应r个不相关特征向量。
扩展资料:
对角化的矩阵性质
2、对角矩阵是上三角矩阵及下三角矩阵;
3、单位矩阵In及零矩阵恒为对角矩阵。一维的矩阵也恒为对角矩阵;
4、一个对角线上元素皆相等的对角矩阵是数乘矩阵,可表示为单位矩阵及一个系数λ的乘积:λI;
5、一对角矩阵 diag(a1, ..., an) 的特征值为a1, ..., an。而其特征向量为单位向量 e1, ..., en;
6、一对角矩阵 diag(a1, ..., an) 的行列式为a1...an的乘积;
7、矩阵 A 左乘一个对角矩阵 D,是分别用 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一行;
8、相似地,矩阵 A 右乘一个对角矩阵 D,是分别将 D 的对角线元素分别作用于矩阵 A 的每一列;
9、对角矩阵之间的矩阵乘法运算,对角线元素相乘,仍为对角矩阵,自然此时满足乘法的交换律。
参考资料:百度百科-对角化
参考资料:百度百科-满秩矩阵
所以 可不可以对角化跟满不满秩没关系对吧
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