解析几何的最值问题2

Question

不是只要第2，是我发了两份
帮帮忙，我是全要！

Answer 1

1.设平行直线系
2x-y+s=0
则y=2x+s
显然，当s尽量小且与椭圆相切时，切点就是所求。此时切点到直线2x-y+10=0的距离就是两直线距离。
将直线y=2x+s与椭圆方程联立，有
40x^2+36sx+9s^2-36=0
其判别式=1296s^2-160(9s^2-36)=0
解得s等于正负2倍根下10
肯定要取-2根10了，小啊……
然后两直线的距离就好求了。
结果是2倍根2+2倍根5

2.解：设抛物线上一点P（x，y）
则y=x^2
P到直线的距离d=|2x-y-4|/根5 ……这里只使用平面几何的初步知识，很显然
然后代入y=x^2
d=|-x^2+2x-4|/根5
然后将绝对值符号内的二次函数配方
-(x-1)^2-3
绝对值内函数的最大值为-3
意味着它只能比-3小或等于-3，即其绝对值一定不小于3
所以x=1时，d最小，最小值是3/5倍的根下5

3.可能是有问题，因为椭圆过点（0，正负2）在这两个点的那一个y/x都是无穷大，所以没有最大值

4.1）转换成几何问题y/x=(y-0)/(x-0)就是（x，y）和原点连线的斜率。
根据圆的特点，全部在第一象限
可知过原点的圆的切线斜率就是y/x的最值
设y=kx
则代入圆方程：(k^2+1)x^2-(4k+6)x+12=0
判别式=0
所以列出关于k的一元二次方程结果是0.25*（3正负根3）
所以y/x最小是（3-根3）/4,最大是(3+根3）/4

2）x^2+y^2是（x，y）到原点的距离的平方
设圆心C
做直线OC交圆于AB
其中A在OC中间
则OA^2就是所求的最小值，OB^2就是最大值
原因：设一点P在圆上异于AB的点
连接PO、PC
则可见OA=OC-r
但三角形OPC中，OP>OC-r=OA所以OA最小，x^2+y^2的最小值：14-2倍根13

同时OB=OC+r
但三角形OPB中，OP<OC+r=OB所以OB最大，x^2+y^2的最大值:14+2倍根13

5.首先知道AB过原点，F1（-2倍根2，0）
于是设AB：y=kx（前提，考虑斜率不存在时的面积为2倍根2）
因为k取正和负相同……对称
所以只讨论K>0的情况
将直线方程代入椭圆方程
(k^2+1/9)*x^2-1=0
|x1-x2|=2*根下（k^2+1)/根下（k^2 +1/9)
然后F1到AB的距离d=|2倍根2 *k|/根下(k^2 +1)
所以S=0.5*【2*根下（k^2+1)/根下（k^2 +1/9)】*d
整理得
S=2倍根2 *根下[1-(1/9)/(k^2 +1/9)]
根号内的式子随着k的增大而增大（这里一定要考虑清楚，后面还有一种考虑思想）
所以斜率存在时S不存在最大值
所以最大值就是2倍根2

另一种思路（自认为比上一种严密）
斜率存在时，即使S不存在最大值，也会无限接近一个数，即极限。
这个数是多少呢？
可以看出，当k增大至很大时，(1/9)/(k^2 +1/9)的分母会非常非常大，从而使其接近0
所以根下的结果无限接近1
S无限接近2倍根2

那为什么可以取到2倍根2呢？
因为直线不存在斜率是因为Δy/Δx中的Δx=0使得斜率没有意义，而没有意义的含义就是斜率无限大（或无限小）
回到刚才的那个问题，当斜率大到无法形容的时候，直线就是y轴，面积就是2倍根2.

比较纠结，毕竟本人是高中生，能力有限，献丑了。