线性同余方程的求特殊解

Question

如题所述

Answer 1

对于线性同余方程
ax ≡ b (mod n) (1)
若 d = gcd(a, n)，d 整除 b ，那么b/d为整数。由裴蜀定理，存在整数对 (r,s) （可用辗转相除法求得）使得 ar+sn=d，因此 x0=rb/d是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于n/d与 x 同余。即x≡x0+(n/d)*t (mod n) (0≤t≤d-1)。
举例来说，方程
12x ≡ 20 (mod 28)
中 d = gcd(12,28) = 4 。注意到 4 = 12 *(-2)+28*1，因此 x0≡5*(-2)≡-10≡4(mod 7)是一个解。对模 28 来说，t=1,x≡4+(28/4)*1≡11 (mod 28)；t=2,x≡4+(28/4)*2≡18 (mod 28)；t=3,x≡4+(28/4)*3≡25 (mod 28) 。所有的解就是 {4,11,18,25} 。