立体几何
重要定理
重要性质结论
一立体几何的基础（公理）
公理
1
：一条直线上有不同的两点在一个平面内，那么称这条直线在这个平面内；
（一条直线上有不同的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内）
公理
2
：不在一条直线上的三点可确定一个平面；
（在一条直线上的三点不能可确定一个平面）
公理
3
：如果不同的两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这一点的一条直
线；
（如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定存在过这一点的一条直线）
公理
4
：平行于同一条直线的两条直线平行；
（平行于同一条直线的直线平行，平行直线有传递性）
注意：
‘可确定一个平面’
‘存在唯一的一个平面’
‘有且只有一个平面’是等价的说法。
二公理的进一步升华（推论）
推论
1
：一条直线与直线外一点可确定一个平面；
推论
2
：两条相交直线可确定一个平面；
推论
1
：两条平行直线可确定一个平面；
三两条直线的位置关系：
1
．
一个平面内的两条直线的位置关系：相交于一点或相互平行。
2
．
空间的不同的两条直线的位置关系：相交于一点，相互平行，异面直线。
3
．
空间的不同的两条直线的位置关系：相交于一点（有公共点）
；
相互平行或异面直线
(
没有公共点
)
。
四立体几何
-----
点
----
线
-----
面
-----
关系的证明分析方法有三种：
1
．
由已知条件，定理，恒成立的结论为依据直接证明问题的真假；
2
．
用反证法证明问题的真假，从“假设问题结论的否定成立”开始证明，综合已知条件，
定理，问题结论的反面，恒成立的结论为依据，来证明假设的不正确，或证明出显然的
矛盾结论。
3
．
用特殊的情况，特殊的实际例子，来推翻结论的对立面。
（特殊法）
。
五两条异面直线所成的角：
过空间任意一点分别作两条异面直线的平行直线，
相交所成的锐
角或直角叫两条异面直线所成的角。
（过空间任意一点，这一点可在其中一条直线上）
。
注意：两条异面直线垂直是指两条异面直线所成的角为
90
0
称为两条异面直线垂直。
六直线与平面的位置关系：相交或平行。
1
．直线与平面平行是指直线与平面无限延展永远没有公共点。
（要证明一条直线与一个平面平行，
就要在平面内找一条有可能与平面外的直线平行的直线
为要证明的目标，用已知条件，定理，恒成立的结论为依据来证明两条直线的平行）
。
2
．直线与平面平行有何性质？
①直线与平面无限延展永远没有公共点；
②如果一条直线与一个平面平行，
经过这条直线的平面与已知平面相交，
那么这条直线与交
线平行。
③如果一条直线与一个平面平行，那么在这个平面内一定存在一条直线与这条直线平行。
④如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。
七两个平面平行：两个平面无限延展永远没有公共点叫两个平面平行。
1
．两个平面平行是如何证明的？
①
两个平面无限延展永远没有公共点称为两个平面平行；
（根据两个平面平行的定义可以证明，可以判断）
②
一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行；
③
两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面平行；
（平面平行具有传递性）
④
垂直与同一条直线的两个平面平行；
⑤一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，
那么这两个平面平
行；
2.
两个平面平行有何性质，有何重要结论：
①
两个平面平行与第三个平面相交于两条交线，那么两条交线平行；
②
两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面；
③
一条直线与两个平行平面所成的角相等；
④
一组平行直线被两个平行平面所截得的线段长相等；
⑤
两个平行平面中的一个平面内的任何一点到另一个平面的距离处处相等，都等于这两个
平行平面的距离；
⑥
一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，那么一定与另一个平面相交；
⑦
两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，那么另一个平面也与第三个平面垂直；
（两个平行平面中的一个平面与第三个平面所成的二面角为
，那么另一个平面也与第三
个平面所成的二面角为
）
.
⑧
一条直线与两个平面平行中的一个平面平行，那么这条直线与另一个平面平行或在另一
个平面内；
（结论的严格性）
⑨
过平面外一点与平面平行的平面有且只有一个；过平面外一点与平面垂直的平面有无数
多个；
过任何一点与平面垂直的直线有且只有一条；
过平面外一点与平面平行的直线有无数
多条，它们都在一个平面内，这个平面与已知平面是平行的；
1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
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