根号1+x^2的不定积分是(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C(C为任意常数)。
解题:令x=tant,t∈(-π/2,π/2),则√(1+x²)=sect,dx=sec²tdt
∫√(1+x²) dx
=∫sec³t dt
=∫sect d(tant)
=sect*tant-∫tant d(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt
∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
∴原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
C为任意常数
不定积分公式运算法则:
运算法则,别称为不定积分的性质,f(x)的原函数,存在微分的反函数。在微积分中,一个函数f的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f的函数F,即F′=f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定,其中F是f的不定积分。
不定积分解题技巧:
首先,要知道一下,不定积分其实就是求导的逆运算,就像下面的公式;只不过在后面加上常数C,因为加上C与不加C的导数结果一样,毕竟,常数的导数为0。其次,我们要谈论对第一类换元法的理解,所谓的第一类换元其实就是一种拼凑。
利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是关于f(x)的函数,再把f(x)看为一个整体,求出最终的结果。(用换元法说,就是把f(x)换为t,再换回来)。
分布积分,就那固定的几种类型,无非就是三角函数乘上x,或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的,我认为比较好的记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘(x)dx=df(x)变形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx这样的公式,当然x可以换成其他g(x)。
![](https://video.ask-data.xyz/img.php?b=https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/38dbb6fd5266d016ebe242be852bd40734fa35a9?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)