若整数b除以非零整数a，商为整数，且无余数， 我们就说b能被a整除（或说a能整除b），b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。整除属于除尽的一种特殊情况。
整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数a（a≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说b能被a除尽（或说a能除尽b）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而无余数．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要无余数就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
①若b|a，c|a，且b和c互质，则bc|a。
②对任意非零整数a，±a|a=±1。
整除抽象图(5张)
③若a|b，b|a，则|a|=|b|。
④如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。
⑤对任意整数a，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
⑥若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。
能被2整除的数的特征
若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
能被3整除的数的特征
1，若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
2，推论：由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……3n位数（n为自然数），这些数字能被3整除。如111能被3整除。
能被5整除的数的特征
若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
能被7整除的数的特征
1.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。同能被17整除的数的特征。
2.末三位以前的数与末三位以后的差（或反过来）。同能被11,13整除的数的特征。
能被11整除的数的特征
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
能被13整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
能被17整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
能被19整除的数的特征
1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续使用能被13整除特征的方法。
2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
希望我能帮助你解疑释惑。
2。公式：a^p ≡ a （mod p），若 a 不能被 p 整除，则 a^(p-1) ≡ 1 （mod p），
需要学习、研究集合中的群环域理论，