平面几何问题

Question

证明：圆外切四边形的对角线交点和切点四边形的对角线交点是一个点

Answer 1

这其实是一个定理得退化情形：

布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

第60条定理：

http://baike.baidu.com/view/15136.htm?fr=ala0_1_1#9 ;

我给一个用根心定理的证法：

证明：

把线段AD、BC分别向两边延长，延长BA、CD

使得EI=EM=JG=GN=FP=QH

那么可以分别过I、J作圆O1，P、Q作圆O2，M、N作圆O3

使得IJPQMN六点分别是圆O1、O2、O3的切点

以上相等的六线段分别是圆O与圆O1、O2、O3的外公切线段。

∵EI=EM=GJ=GN

∴线段EG在圆O1和圆O3的根轴上

∵AE=AF，且FP=EI

∴AI=EI-AE=FP-AF=AP

∴点A在圆O1和圆O2的根轴上

∵GC=CH，且GJ=HQ

∴JC=GJ+GC=HQ+CH=QC

∴点C在圆O1和圆O2的根轴上

∴线段AC在圆O1和圆O2的根轴上

同理可证明：

线段BD在圆O2和圆O3的根轴上

根据根心定理：三圆的根轴共点K

∴AC、BD、EG共点K

根据图形的对称性可知：

用同样的方法可证明FH、AC、BD共点

综上所述：AC、BD、EG、FH四线共点K。

证毕！

三角法硬算貌似也可以，不过不能反映本质。

参考资料：根轴有关内容：http://baike.baidu.com/view/1360403.htm?fr=ala0_1_1