考研线代问题

Question

设A是n*m矩阵，B是m*n矩阵，满足AB=E,E是单位阵，证明：A的行向量组线性无关。

这是书上的一种解法

A的行向量线性无关< =>r(A)=n；
因 r(A)<=n. (1)
又r(A) >= r(AB)=r(E)=n; (2)
故 r(A)=n,即A的行向量组线性无关

我想问为什么（1）处 r<n，如果m<n不就是r<m了吗？
（2）处为什么r(A) >= r(AB),是因为这条结论吗
“AB的每一个列向量可由A的列向量线性表示，则r(AB)≤r(A)；
AB的每一个行向量可由B的行向量线性表示，则r(AB)≤r(B)。”
还是因为其他的原因？

Answer 1

初等列变换很少用,只有几个特殊情况:1.线性方程组理论证明时:交换系数矩阵部分的列便于证明2.求矩阵的等价标准形:行列变换可同时用3.解矩阵方程XA=B:对[A;B](上下放置)只用列变换4.用初等变换求合同对角形:对[A;E]'用相同的行列变换初等行变换的用途:1.求矩阵的秩,化行阶梯矩阵,非零行数即矩阵的秩同时用列变换也没问题,但行变换就足够用了!2.化为行阶梯形求向量组的秩和极大无关组(A,b)化为行阶梯形,判断方程组的解的存在性3.化行最简形把一个向量表示为一个向量组的线性组合方程组有解时,求出方程组的全部解求出向量组的极大无关组,且将其余向量由极大无关组线性表示4.求方阵的逆(A,E)-->(E,A^-1)解矩阵方程AX=B,(A,B)-->(E,A^-1B)