计算I=∫∫ydydz-xdzdx+z^2dxdy积分区间为∑，其中∑是锥面z=√x^2+y^2被平面z=1和z=2所截部分的外侧。

Question

如题所述

Answer 1

补充∑1：z=1, x^2+y^2≤1, 取下侧; ∑2：z=2, x^2+y^2≤4，取上侧。则
I =∫∫<∑+∑1+∑2>ydydz-xdzdx+z^2dxdy -∫∫<∑1下> -∫∫<∑2上>
前者用高斯公式，中者 z=1，dz=0，后者 z=2，dz=0, 得
I =∫∫∫<Ω>2zdxdydz +∫∫<x^2+y^2≤1>dxdy-∫∫<x^2+y^2≤4>4dxdy
=∫<1,2>2zdz∫<0,2π>dt∫<0,z>rdr +π-16π
=∫<1,2>2πz^3dz-15π = 15π/2-15π = -15π/2