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Question

已知向量a=(cosx,sinx),b=(cosβ,sinβ),a与b之间有关系式:
|ka+b|=√3·|a-kb|,其中k＞0
求:a·b的最小值,并求此时a和b之间的夹角θ的大小
在下算出a·b=(k²+1)/4k=1/4(k+1/k)
a·b=x1·x2+y1·y2=cosx·cosβ+sinx·sinβ
=cos（x-β）
=|a|·|b|·cosθ
很明显 |a|=1=|b|，cos（x-β）的最小值是-1
∴θ=π
但是答案是这么算的：a·b=(k²+1)/4k=1/4(k+1/k)
根据对号函数k+1/k在k＞0的情况下的最小值是2
所以a·b的最小值是1/2
∴|a|·|b|·cosθ =1/2
cosθ=1/2,所以θ=π/3
高手给解释下啊!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

y=x+p/x是高中里的一个特殊函数叫P函数，y=k+1/k是p=1的特例，

也叫对号函数或nike函数，

对号函数  对号函数双曲线的一种

  形如y=ax+b/x（a、b不等于0）的函数

  特点如下： 

  1.对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、焦点、顶点等等 

  2.对号函数是永远是奇函数，关于原点呈中心对称 

  3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 

  4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2根号ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，根号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷）上单调递增 

  5.当a>0,b<0时，图像分布在四个象限、两条渐近线的钝角之间部分，且两条分支都是单调递增的，无极值 

  6.a、b其他情况可以由4、5变换得到

  7.对号函数常用于研究函数的最值和恒成立问题

  

对号函数的应用

  利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，（当且仅当即时取等号），由此可得函数（a>0,b>0,x∈R+）的性质:

  当时，函数（a>0,b>0,x∈R+）有最小值，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数（a>0,b>0）在区间（0，）上是减函数，在区间（，+∞）上是增函数。

  因为函数（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数（a>0,b>0,x∈R-）的性质：

  当时，函数（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数（a>0,b>0）在区间（-∞，-）上是增函数，在区间（-，0）上是减函数。

  利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便。

  补充 ： 耐克函数 顶点坐标公式 ：( ｜√b/a ｜,｜2√ab ｜) , 象限确定符号 。

Answer 2

如果cos（x-β）的最小值是-1， a·b<0,
但a·b=(k²+1)/4k=1/4(k+1/k)>0（k>0）,这样的话a·b就恒大于0
再说了，a.b=cos(x-β) 并不代表最小值是-1 因为你不知道x-β能不能任意取值， 必须得满足限定条件|ka+b|=√3·|a-kb|
这样的话，就得根据限定条件算啦
∴ 根据对号函数k+1/k在k＞0的情况下的最小值是2
所以a·b的最小值是1/2
∴|a|·|b|·cosθ =1/2
cosθ=1/2,所以θ=π/3本回答被提问者采纳

Answer 3

解答：

a.b=cos(x-β) 并不代表最小值是-1 因为你不知道x-β能不能任意取值，

必须得满足限定条件|ka+b|=√3·|a-kb|，这个限定条件表明a,b之间是

存在关系的，说明：x,β之间是有关系的，这导致了x-β不能任意取值，

也许取不到最小值对应的那些点。所以说，你的解答存在这个问题。

而答案是不存在这个问题的。

解答完毕，希望能对你有帮助。

Answer 4

如果你用cosθ最小等于-1来求 a·b的最小值的话那就根本没用上题目中的|ka+b|=√3·|a-kb|这个条件，也就是说你求的这个值是不能满足题目给的条件的，你应该用题目给的条件先求出最小值再算夹角，而不能抛开题目给的条件先认定他们之间的夹角是π然后在求最小值，用你这样的算法解出来肯定不对

Answer 5

解;(1)a=(cosx,sinx),b=(cosb,sinb).=====>ka+b=(kcosx+cosb,ksinx+sinb).a-kb=(cosx-kcosb,sinx-ksinb).由题设可得，（kcosx+cosb)^2+(ksinx+sinb)^2=3[(cosx-kcosb)^2+(sinx-ksinb)^2]====>8kcos(x-b)=2+2k^2.===>cos(x-b)=(1+k^2)/4k.(2)a*b=cosxcosb+sinxsinb=cos(x-b)=(1+k^2)/4k=[k+(1/k)]/4≥1/2.等号仅当k=1时取得，故（a*b)min=1/2.(3).1/2=a*b=|a|*|b|cost.===>cost=1/2.===>t=60°。