请说明卡方分布的性质？

Question

如题所述

Answer 1

根据卡方分布性质可得：

（均值用X* 表示,且可知X*=(∑Xi)/n）

Xi服从正态分布 N(μ,σ2)，则

(Xi-μ)/σ 服从标准正态分布 N(0,1)

根据卡方分布的定义可知：∑(Xi-μ)2/σ2服从Χ2(n)分布

X*服从正态分布 N(μ,σ2/n)，则

(X*-μ)/ (σ/n1/2) 服从标准正态分布 N(0,1)

∑(Xi-μ)2/σ2

=(1/σ2)∑[(Xi- X*)2+μ2- X*2-2XiX*+2Xiμ]

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(1/σ2)∑(μ2-X*2+2XiX*-2Xiμ)

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(1/σ2)[n(μ-X*)(μ+X*)-2(μ-X*)∑Xi]

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(n/σ2)(μ-X*)[(μ+X*)-2(∑Xi)/n]

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+(n/σ2)(μ-X*)2

=(1/σ2)∑(Xi-X*)2+[(X*-μ)/ (σ/n1/2)]2

扩展资料：

性质

（1)  分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数  的增大，  

分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.

（2)  分布的均值与方差可以看出，随着自由度  的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值  越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差  越大）。

（3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。

(4) 若  互相独立，则：  服从  分布，自由度为 ；

(5)  分布的均数为自由度  ，记为 E(  ) =  。

(6)  分布的方差为2倍的自由度(  )，记为 D(  ) =  。

参考资料：百度百科——卡方分布