接下来，我们将深入探讨函数在区间上的一致连续性，这是一项关键概念，尤其在考研中屡次成为必考热点。首先，让我们明确一致连续性的定义：
定义： 设函数 f(x) 在区间
I 上定义，若对于任意给定的 ε>0，存在 δ>0，使得对所有 x, y ∈ I，当 |x - y| < δ 时，都有 |f(x) - f(y)| < ε，则称 f(x) 在区间
I 上一致连续。特别地，如果对于任意 x_0，都有 f(x) 在点 x_0 的邻域上连续，那么一致连续性就确保了 f(x) 在整个区间上的连续性。
不一致连续性 与之相反，即使在局部满足连续性，整体上也可能不一致连续，这通过反例可以直观地理解。
关键性质：
1. **性质1**：若 f(x) 在
I 上一致连续，那么在任何子区间
J 也是一致连续的，因为常数函数是特殊的例子。
2. **性质2**：在有界区间上，如果 f(x) 一致连续，那么它在区间端点处的极限也是一致的，无论端点是有限还是无限的。
性质3和4强调了区间长度的重要性：如果 f(x) 在
I 上连续且
I 有限，那么它在任何子区间上也一致连续。无限区间的情况则需要特殊处理，但原则相似。
性质6和7：
- **性质6**：若 f(x) 在两个区间
I 和
J 上一致连续，那么它们的复合函数在
I ∩ J 上也一致连续。
- **性质7**：当 f(x) 和 g(x) 都是有界的一致连续函数，它们的和或差在任何区间上依然一致连续。
值得注意的是，尽管
性质7 提供了有界函数的一致连续性保证，但
性质10——复合函数的一致连续性定理更为强大，尤其是在处理复合函数时，如函数 h(x) = f(g(x))，只要 f 和 g 在给定区间上一致连续且值域满足特定条件，复合函数依然保持一致性。
**考研真题示例**：
- 应用1：在 10 年华南理工、07 东南的题目中，利用 f(x) 和 g(x) 在特定区间上的一致连续性，通过性质10证明复合函数在给定条件下的一致连续。
- 应用2：中科大的题目中，通过分析函数的结构，利用性质10来验证复合函数在指定区间上的性质。
在某些情况下，如
应用4 的例子，题目看似不满足某些性质，但通过对函数值域的理解，我们可以通过巧妙地应用性质10来解决问题。
深入学习一致性，理解这些性质和应用至关重要，它们是理解和解决许多数学问题的关键。若想了解更多，可以关注我们的微信公众号
岩宝数学考研，加入我们的交流群
2021年数学考研交流QQ群：282581218，与同学们一起探讨数学之美。