首先，基本上每个人的学习都是相互独立的，所以可认为n个人的成绩是n个相互独立的随机变量X1，X2.....Xn，同时他们具有自己的数学期望和方差（每个人参加多次考试的成绩都会有所波动嘛),所以满足中心极限定理二李雅谱诺夫定理的条件，故无论各个随机变量服从什么分布，在满足上述定理的条件下，当人数较多时，即n较大时，ΣX就近似的服从正态分布。所以无论每个人的学习情况怎么样，总体是近似正太分布的。
正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布有重要的意义。我们将介绍几种数值方法求正态分布：中心极限定理，Hasiting 有理逼近法，统计工具箱，反函数法，舍选法，R软件及一维正态随机数的检验。
正态分布；一维；随机数。
一．利用中心极限定理
中心极限定理：（一般 n≥10），
产生服从N(μ,σ)的算法步骤：
（1）产生n 个RND 随机数：r1，r2，…，rn；
计算x?(?ri?（2） 2)/
i?1n122;
2(3) 计算 y=σx+μ ，y 是服从 N(μ,σ) 分布的随机数。
原理分析：
设ζ1，ζ2，…，ζn是n个相互独立的随机变量,且ζi～U(0,1), i= 1,2, …,n, 有E(?i)?1
，D(?i)?1,12
n??(??i?n由中心极限定理知 ：)/，渐近服从正态分布N(0, l )。
i?1n
注意：我们现在已经能产生[0，1]均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。
r 1,r2,?,rn现在我们产生n个[0，1]均匀分布随机数，
我们有： ?1n1?u?n?r??n?i2???i?1?
为方便起见，我们特别选 n = 12，则 ： u??ri?6
i?112
这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。
在C语言中表示为：
例1：利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验
% example 1
clc,clear
for i=1:1000
R=rand(1,12);
X(i)=sum(R)-6;
end
X=X';
m=mean(X)
v=var(X)
subplot(1,2,1),cdfplot(X)
subplot(1,2,2),histfit(X)
h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])
结果为：H=0, 接受原假设，变换后的确为标准正态分布。
二．Hasiting 有理逼近法
这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法。我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数。其计算公式为：
2a?ay?ay012 x?y?1?b1y?b2y2?b3y3
y?(?2lnr)1/2,r~U(0,1)，系数为： 这里
a0 = 2.515517 b1 = 1.432788
a1 = 0.802853 b2 = 0.189269
a2 = 0.010328 b3 = 0.001308
三．利用统计工具箱
在MATLAB统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。
四．反函数法
设连续型随机变量Y的概率函数为 f(x), 需产生给定分布的随机数.
算法:
（1）产生n个RND 随机数r1，r2，…，rn；
从等式ri??f(y)dy中解出yi;所得（2） ??yiyi, i=1,2, …,n 即所求.
基本原理：
设随机变量Y的分布函数F(y)是连续函数，而且随机变量X～U(0,1)，令Z=F(X)。 则Z与Y有相同分布。
证明 ：FZ(z)= P{F(X) ≤ z}= P{X≤F(z)}=G(F(z)) = F(z)
因G(x)是随机变量X 的分布函数：
?0,?G(x)??x,
?1, ?－1－1 x?0;0?x?1;1?x.
－1Y若Y的概率密度为 f(y)，由Y=F(X)可得： X?F(Y)??f(y)dy??
对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数ri，则具有给定分布的随机数 yi 可由方程
if(y)dy解出。 ri????y
五．舍选法
基本思想：
实质上是从许多RND随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在实数a<b，使P{a<X<b}=1。 算法步骤：
(1) 选取常数λ，使λf(x)＜1，x∈(a, b)；
(2) 产生两个RND 随机数r1 、r2，令y= a＋(b－a)r1 ；
(3) 若r2≤λf(y)，则令x=y；否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2)，重复循环, 产生的随机数x1，x2，…，xN的分布由概率函数 f(x) 确定。
舍选法算法原理分析：
设P{a＜Z＜b}=1，Z的概率密度为f(z),
（1）选常数λ，使λf(z)≤1，z∈(a，b)；
（2）随机变量X1，X2相互独立Xi～U(0, 1),令Y1=a+(b－a)X1～U(a, b);
（3）若X2≤λf(Y1)，则令X = Y1，否则剔除X1，X2重复到(2)； 则随机变量X的分布与Z相同。
b注： 若不满足条件：?f(x)dx?1,a
可选取有限区间(a1, b1)，使得 ?a1f(x)dx?1??（ε是很小的正数） 例如，取 a1=μ－3σ,b1=μ＋3σ(x??)2?e2dx?1?0.003，有a12??b1?b1
在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差。
六．R软件
利用R软件，可方便地求各种常见概率分布的分布函数，分位点及生成各种常见分布的随机数等。在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如：p-求分布函数，q-求分位点，r产生随机数等。
七、一维正态随机数的检验
我们已经基本搞清伪随机数的产生原理，由于并不是真正的随机数，很自然的问题是，它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性，均匀性等等。
设：随机数具有连续的分布函数F（X），则随机变量R=（X）是均匀分布（0，1）的随机变量，因此如果R通过统计检验随机变量 X 也可以通过。因此我们以下着重讨论均匀分布R的检验问题，再简单地讨论正态随机数检验问题。 统计推断原理：
X1,X2,?,Xn为 随机变量序列，则随机序列的函数称为统计量。统计量的定义：设
记为：
S?S(X1,X2,?,Xn)显然统计量 S 也是随机变量。既然是随机变量，它们就应该有其分布或称总体的规律，当然也有各种数字特征。例如均值、标准差、方差等等各阶矩。
我们的统计推断方式是：
（1）H0：某假定成立；
（2）在假定成立的条件下构造统计量S；
（3）统计量构造完毕，我们也就知道了该统计量的全部统计规律。如它的分布函数，或密度函数各阶矩等；
（4）根据统计量的分布，在给定的显著性水平α，对统计量S 的一次抽样确定以 1-α为概率的区域，该区域称为接受域 。如果该次抽样计算出统计量 S 的值 s 落入该领域，我们就接受原假，否则推翻原假设。这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理。落入由α 确定的区域是一个小概率事件，在一次实验中我们认为是不可能发生的。
统计检验中两类常用统计量的构造检验方法：
?，和有限方差D（X）= ?2，我们抽 N 1.设随机变量 X 具有数学期望E（X）=
?XN
i??
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