高二向量2道

Question

1
已知平面上三点A、B、C满足向量AB的模=3，向量BC的模=4，向量CA的模=5
则 向量AB与向量BC的点积+向量BC与向量CA的点积+向量CA与向量AB的点积的值等于？

2
若向量AB=(3,1),向量AC=(-1,2),向量AD与向量AC垂直，向量CD与向量AB平行，又向量AE+向量AB=向量AD，则向量AE=？

两道皆求详解 谢谢！

Answer 1

1 首先三角形ABC的三边都知道，并且是个直角三角形，那么每个角的余弦值也都知道了。带入数值求解：

  3×4×0+4×5×（-4/5）+5×3×(-3/5)=-25

2 E=(11,6)

Answer 2

1 注：（根号 用 √ 表示 ）
∵ AB的模的平方+BC的模的平方=CA的模的平方
∴ 由勾股定理得 ABC为直角三角形
∴∠ABC=90°
∴向量AB与向量BC的点积=0
向量BC与向量CA的点积=BC的模*CA的模*(-4/5)=-16
向量CA与向量AB的点积=CA的模*AB的模*(-(√ (9-(12/5)^2))/3)=-9
∴ 第一题答案应该是 -25

2 ∵向量AE+向量AB=向量AD 且 向量BD+向量AB=向量AD
∴之需求向量BD即可
∵ 向量AC=(-1,2),向量AD与向量AC垂直
∴ 设向量AD为（2*K,K）
∵ 向量CD与向量AB平行
∵ 向量CD=向量CA+向量AD=（2*K+1,K-2）
∵ 向量CD与向量AB平行
∴ （2*K+1）/3=(K-2)/1
∴ K=7
∴ 向量AD=(14,7)
∴ 向量BD=向量AD-向量AB=(11,6)
∴ 向量AE=（11，6）
多年不做 有些生疏 也不确定对不对了 希望楼主仅作参考

Answer 3

1
平面上三点A、B、C满足向量AB的模=3，向量BC的模=4，向量CA的模=5------得到ABC三点平面，刚好好直角三角形。
向量AB与向量BC的点积+向量BC与向量CA的点积+向量CA与向量AB的点积=0+3*5*（-0.6）+5*4*（-0.8）=-25
2
设CD=(3x,x) AD=(3x-1,x+2) (3x-1,x+2)*(-1,2)=0 x=5
CD=(15,5) AD=(14.7) AE=(11,6)本回答被提问者采纳

Answer 4

1. 原式=|AB||BC|cos(π-B)+|BC||CA|cos(π-C)+|CA||AB|cos(π-A)=3*4*0+4*5*(-4/5)+5*3*(-3/5)=-25

2. 设向量AD=(x,y),
∵向量CD‖向量AB
∴y-2/[x-(-1)]=1/3
∴x=3y-7
∵向量AD⊥向量AC
∴x*(-1)+y*2=0
∴x=2y
联立方程得x=14,y=7
向量AD=（14，7）
向量AE=向量AD-向量AB=(11,6)