线代关于行列式的一道题 快期末考试了求解答

Question

已知四阶行列式 a b c d 等于k，问第四行前两个元素的代数余子式A41+A42是？
3 3 4 4
1 5 6 7
1 1 2 2

Answer 1

题：
已知四阶行列式
a b c d
3 3 4 4
1 5 6 7
1 1 2 2
等于k，问第四行前两个元素的代数余子式A41+A42是？
解：
显然，
y=A41+A42
=
|
a b c d
3 3 4 4
1 5 6 7
1 1 0 0
|
又
原行列式值为k
2k=
|
a b c d
3 3 4 4
1 5 6 7
2 2 4 4
|
=
|
a b c d
3 3 4 4
1 5 6 7
-1,-1,0,0
|
=-y
故y=-2k，此始所求。追问

那你能告诉我为什么不能把原行列式的第四行乘-2加到第二行直接得到你回答的第一个行列式这个行列式的值应该还等于k，然后按第四行展开得到的就是A41+A42=k

追答

解法二：
将原行列式的第四行乘-2加到第二行，得到的是
|
a b c d
1 1 0 0
1 5 6 7
1 1 2 2
|
这个行列式与原行列式相同，值是k
但我们求的是
y=A41+A42=
|
a b c d
3 3 4 4
1 5 6 7
1 1 0 0
| 一定要注意，余子式的和，本质上就是这个东东哦！
=
| 上式第二行上扣除第四行
a b c d
2 2 4 4
1 5 6 7
1 1 0 0
|
=
2*
|
a b c d
1 1 2 2
1 5 6 7
1 1 0 0
| 这个是原行列式交换两行所成
=2*（-k)
还是得到 -2k

Answer 2

把行列式最后一行换成1 1 0 0，再计算就得A41+A42=k,此类题，做法都一样。追问

我也这么觉得，但是答案是-2k

Answer 3

直接计算。。得 4d-c-4b追问

那答案的-2k怎么出来啊

那答案的-2k怎么出来啊

追答

书上有公式啊。。代入就可以了。代数余子式的公式啊.....两个相加