一、知识要点 一元二次方程 一元二次方程（quadraticequationofonevariable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为：ax^2+bx+c=0,(a≠0) 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。 一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。[编辑本段]二、方法、例题精讲 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0 (3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得 x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=,x2=-是原方程的解。 (4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2)=0 ∴x1=2,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0（2）x2+(2-)x+-3=0 （3）x2-2x=-（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解：x2+(2-)x+-3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2x=- x2-2x+=0(先化成一般形式) △=(-2)2-4×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1=,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。(选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即(5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q(常数项移到方程右边) x2+px+()2=-q+()2(方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2=(配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=-±= ∴x1=,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p,q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1.6x2-x-2=02.(x+5)(x-5)=3 3.x2-x=04.x2-4x+4=0 5.3x2+1=2x6.(2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=02.x2-(+)ax+a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=-,x2=2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2=4.x1=x2=25.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即(2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+(+b)(-b)=02、解：x2-(+)ax+a·a=0 [x-(+b)][x-(-b)]=0(x-a)(x-a)=0 ∴x-(+b)=0或x-(-b)=0x-a=0或x-a=0 ∴x1=+b，x2=-b是∴x1=a，x2=a是 原方程的解。原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（） A、x=5B、x=-5C、x1=x2=5D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（）。 A、3或7B、-3或7C、3或-7D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（）。 A、0B、1C、-1D、±1 4．一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（）。 A、b≠0且c=0B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0D、c=0 5．方程x2-3x=10的两个根是（）。 A、-2，5B、2，-5C、2，5D、-2，-5 6．方程x2-3x+3=0的解是（）。 A、B、C、D、无实根 7．方程2x2-0.15=0的解是（）。 A、x=B、x=- C、x1=0.27,x2=-0.27D、x1=,x2=- 8．方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）。 A、(x-)2=B、(x-)2=- C、(x-)2=D、以上答案都不对 9．已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（）。 A、(x-1)2=m2+1B、(x-1)2=m-1C、(x-1)2=1-mD、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C2.C3.B4.D5.A6.D7.D8.C9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11,解得a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0,方程左侧为a+b+c,且具仅有x=1时，ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0或x+2=0 x1=5,x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(-)2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m,则x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析[编辑本段]考题评析 1．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 2．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（） （A）x=3+2（B）x=3-2 （C）x1=3+2,x2=3-2（D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方根，即可选出答案。[编辑本段]课外拓展 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数，即求出这样的x与，使 x=1,x+=b, x2-bx+1=0, 他们做出(2）；再做出，然后得出解答：+及-。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。 在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次 给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
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