求级数x^n/n+1在(-1,1)且不等于零的和函数，并求1/n2^n的和

Question

如题所述

Answer 1

解：
令f(x)=∑x^(n+1)/(n+1)
则f'(x)=∑x^n=x/(1-x)=-1+1/(1-x)
积分：f(x)=-x-ln(1-x)+C
由于f(0)=0, 得C=0
故∑x^(n+1)/(n+1)=-x-ln(1-x)
因此∑x^n/(n+1)=-1-(1/x)ln(1-x)
故∑1/(n2^n)=1/2∑1/(n2^(n-1))=1/2+∑1/[(n+1)2^n]=1/2-1-2ln(1-1/2)=-1/2+2ln2

Answer 2

令f(x)=∑x^(n+1)/(n+1)
则f'(x)=∑x^n=x/(1-x)=-1+1/(1-x)
积分：f(x)=-x-ln(1-x)+C
由于f(0)=0, 得C=0
故∑x^(n+1)/(n+1)=-x-ln(1-x)
因此∑x^n/(n+1)=-1-(1/x)ln(1-x)

故∑1/(n2^n)=1/2∑1/(n2^(n-1))=1/2+∑1/[(n+1)2^n]=1/2-1-2ln(1-1/2)=-1/2+2ln2本回答被网友采纳