用直角坐标系计算三重积分时，第一次对z积分的意义

Question

如题所说，如果说二重积分第一次积分得到的结果是截面面积的表达式，那么三重积分将x，y看做定值后对z积分，得到的函数有什么几何意义或者物理意义吗（从二重积分是体积，三重积分可认为是质量的角度来说）？

Answer 1

以求球体质量为例子。对z积分，你可以理解为一条线上的线质量（当然线是没有质量的），这条线质量再对y积分就有了面质量，再对x积分就可以看做物体质量。

Answer 2

标准球坐标
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dV = r²sinφ drdφdθ
Ω方程变为：r = 2acosφ
由于整个球面在xOy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(Ω) (x²+y²+z²) dV
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15追问

完全不知道你在写些什么，水这个有意思吗？