佩亚诺余项泰勒公式展开如图所示，根据它的展开，他应该是用f(2x)这样的形式而不是f(x)的形

佩亚诺余项泰勒公式展开

如图所示，根据它的展开，他应该是用f(2x)这样的形式而不是f(x)的形式展开的(不然求导应该多乘以一个2)，但是式子最后的佩亚诺余项却写的是ο(x²)而不是ο[(2x)²]

我的问题是：
1.可不可以按f(2x)这种形式展开(就是图片中那样展开的)
2.为什么最后的佩亚诺余项是ο(x²)？

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推荐答案 2017-04-11

展开到多少项是因问题而异的,比如求x趋于0时 (e^x-1)/x的极限,只需把e^x展开到第一项(x项)即可,为什么呢?因为e^x = 1 + x + o(x),后面的o(x)是比x还小的项,所以 (e^x-1)/x = 1 + o(x)/x,后一项趋于0,故极限为1.
如果现在求的是(cosx-1)/x^2,则需要展开到x^2项,cosx = 1 - x^2/2 + o(x^2),道理和上面一样.总之原则就是一个,最后余项的那部分运算下来不能影响“大局”,是可以忽略的部分,这样就可以了.

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第1个回答 2017-04-13

因为x^2的高阶无穷小o(x^2)当然也是kx^2的高阶无穷小
所以o(x^2)和o(4x^2)是等价的本回答被提问者和网友采纳

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