旋转体的面积积分公式如何推导？

Question

如题所述

Answer 1

旋转体的面积积分公式是通过对曲线绕x轴或y轴旋转一周所形成的旋转体表面积进行计算的。这里我们分别推导绕x轴和y轴旋转的情况。
绕x轴旋转的旋转体表面积积分公式：
设曲线
𝑦
=
𝑓
(
𝑥
)
y=f(x)在区间
[
𝑎
,
𝑏
]
[a,b]上连续，并且函数在这个区间内可积。当曲线绕x轴旋转时，形成的旋转体的表面是由无数个半径为
𝑦
y、高为
𝑑
𝑥
dx的小圆柱侧面组成。每个小圆柱的侧面积可以表示为
2
𝜋
𝑦
⋅
𝑑
𝑥
2πy⋅dx。因此，整个旋转体的表面积可以通过积分得到：
𝐴
=
∫
𝑎
𝑏
2
𝜋
𝑦
⋅
𝑑
𝑥
=
2
𝑝
𝑖
∫
𝑎
𝑏
𝑦
⋅
𝑑
𝑥
A=∫
a
b
​
2πy⋅dx=2pi∫
a
b
​
y⋅dx
如果曲线以
𝑔
(
𝑦
)
g(y)的形式给出，即
𝑥
=
𝑔
(
𝑦
)
x=g(y)，则旋转体的表面积可以通过对
𝑔
(
𝑦
)
g(y)求导得到
𝑥
x，然后使用相同的方法进行积分：
𝐴
=
2
𝜋
𝑖
𝑛
𝑡
𝑐
𝑑
𝑔
(
𝑦
)
⋅
𝑑
𝑦
A=2πint
c
d
​
g(y)⋅dy
其中
𝑐
c和
𝑑
d是
𝑦
=
𝑓
(
𝑥
)
y=f(x)在
[
𝑎
,
𝑏
]
[a,b]上的对应值域区间。
绕y轴旋转的旋转体表面积积分公式：
设曲线
𝑥
=
𝑔
(
𝑦
)
x=g(y)在区间
[
𝑐
,
𝑑
]
[c,d]上连续，并且函数在这个区间内可积。当曲线绕y轴旋转时，形成的旋转体的表面是由无数个半径为
𝑥
x、高为
𝑑
𝑦
dy的小圆柱侧面组成。每个小圆柱的侧面积可以表示为
2
𝑝
𝑖
𝑥
⋅
𝑑
𝑦
2pix⋅dy。因此，整个旋转体的表面积可以通过积分得到：
𝐴
=
∫
𝑐
𝑑
2
𝑝
𝑖
𝑥
⋅
𝑑
𝑦
=
2
𝜋
∫
𝑐
𝑑
𝑥
⋅
𝑑
𝑦
A=∫
c
d
​
2pix⋅dy=2π∫
c
d
​
x⋅dy
如果曲线以
𝑓
(
𝑥
)
f(x)的形式给出，即
𝑦
=
𝑓
(
𝑥
)
y=f(x)，则旋转体的表面积可以通过对
𝑓
(
𝑥
)
f(x)求导得到
𝑦
y，然后使用相同的方法进行积分：
𝐴
=
2
𝑝
𝑖
∫
𝑎
𝑏
𝑓
(
𝑥
)
⋅
𝑑
𝑥
A=2pi∫
a
b
​
f(x)⋅dx
其中
𝑎
a和
𝑏
b是
𝑥
=
𝑔
(
𝑦
)
x=g(y)在
[
𝑐
,
𝑑
]
[c,d]上的对应值域区间。
总结来说，旋转体的面积积分公式是通过将曲线分割成无数小段，每一段绕轴旋转后形成一个小圆柱侧面，然后将这些小圆柱侧面的面积加起来得到的。对于绕x轴旋转，使用
2
𝜋
𝑦
⋅
𝑑
𝑥
2πy⋅dx进行积分；对于绕y轴旋转，使用
2
𝑝
𝑖
𝑥
⋅
𝑑
𝑦
2pix⋅dy进行积分。具体的积分表达式取决于给定的曲线方程和旋转轴。