矩阵A可逆，那么A的逆矩阵的秩与A的秩有什么关系？

Question

如题所述

Answer 1

当矩阵A具备可逆性时，一个重要的性质在于其秩的确定。我们探讨的是A的逆矩阵与其本身的秩之间的关系，答案显而易见：可逆矩阵A的秩必定是满秩的，即矩阵的列秩和行秩都等于其最小的非零子矩阵的阶数。同样的，其逆矩阵的秩同样满秩，因为逆矩阵的存在确保了A的列向量线性无关，行向量也同样独立。

值得注意的是，秩的相等并非偶然，而是A的满秩性质所决定的。这种秩的相等并非一般意义上的相等，而是当A可逆且都达到满秩状态时，才会出现的特殊关系。满秩是关键，它意味着矩阵的秩足以反映其所有非零特征，因此其逆矩阵的秩也必然与之相符。

总结来说，矩阵A可逆时，其秩和逆矩阵的秩如同两个镜像，都反映了矩阵的全向量空间映射能力。它们的秩相等，是矩阵A具有完全非奇异性的直接体现，这是对矩阵理论中秩的深入理解不可或缺的一部分。