两个简单的高数问题

Question

第一个是有关汉说做三角替换后定义域的问题
第二个是级数公式问题，不晓得题目中用的何公式
详见图片

Answer 1

1.
令x=tant时，要设定义域，一般设t属于(-π/2，π/2)，此时x有正有负，x属于R
因为t属于(-π/2，π/2)，于是cost>0

另外第一题的过程基本没错

2.步骤1用的是
(1+t)^(-1/2)=1-t/2+(1*3)t^2/(2*4)-(1*3*5)t^3/(2*4*6)+..【t属于(-1,1)】

此式可用麦克劳林展开式证明
麦克劳林展开式是最基本的二项展开式，类似于牛顿二项展开式
(1+t)^a=1+at+a(a-1)t^2/2!+...+[a(a-1)...(a-n+1)]t^n/n!【t属于(-1,1)】

令a=-1/2可得
(1+t)^(-1/2)=1+∑(∞，n=1)[(-1/2)(-3/2)...(-1/2-n+1)](t)^n/n!
(1+t)^(-1/2)=1+∑(∞，n=1)( (1/-2)(3/-2) ... [(2n-1)/-2] )(t)^n/n!
(1+t)^(-1/2)=1+∑(∞，n=1)( [1*3*...*(2n-1)]/(-2)^n )(t)^n/n!
(1+t)^(-1/2)=1+∑(∞，n=1)[1*3*...*(2n-1)](t)^n / [n!(-2)^n]

令t=-x^2可得
(1-x^2)^(-1/2)=1+∑(∞，n=1)[1*3*...*(2n-1)](-x^2)^n / [n!(-2)^n]
(1-x^2)^(-1/2)=1+∑(∞，n=1)[1*3*...*(2n-1)] x^2n (-1)^n/[n!(-2)^n]
(1-x^2)^(-1/2)=1+∑(∞，n=1)[1*3*...*(2n-1)] x^2n /(n!2^n)

步骤2
莱布尼兹公式中有f^a(x)

而题目要求的是y^n(0)
怎么会没用到呢？

你把步骤2中的f^n(x)看成y^n(x)比较好理解
y=x+∑(∞，n=1)[1*3*...*(2n-1)] x^(2n+1) /[(2n+1)n!2^n] 一式

y=∑(∞，a=0)f^a(0)(x-0)^a/a!【此处把n换成a以免和上式中的n混淆】
y=f(0)+∑(∞，a=1)f^a(0)(x-0)^a/a! 二式
y=f(x)
y^(a)(0)=f^(a)(0)

由一式和二式可知
f(0)=x，
所以f'(0)=1，
所以f^(2n)(0)=0
【这步不知有什么用】

一式和二式对比，令a=2n+1可得
f^(2n+1)(0)x^(2n+1)/(2n+1)!=[1*3*...*(2n-1)] x^(2n+1) /[(2n+1)n!2^n]
f^(2n+1)(0)/(2n+1)!=[1*3*...*(2n-1)] /[(2n+1)n!2^n]
f^(2n+1)(0)=[1*3*...*(2n-1)](2n)! /(n!2^n)
f^(a)(0)=[1*3*...*(2n-1)](2n)! /(n!2^n)
y^(a)(0)=[1*3*...*(2n-1)](2n)! /(n!2^n)

Answer 2

简单你还不会，
1.你数学怎么学的啊
2.泰勒公式