100的阶乘除以几次3才除不尽？

Question

如题所述

Answer 1

首先，可以计算出100的阶乘。由于100!非常大，难以直接计算，可以使用对数来估算。具体地，可以使用斯特林公式：
n!≈ √（2πn） * （n/e）^n
将n=100带入上式，得到：
100!≈ √（2π*100） * （100/e）^100 ≈ 9.332621544394418 × 10^157
然后，可以将100!分解质因数，并计算因式分解中3的个数。因为100!中包含大量的质因子3，所以只需要计算3的个数即可知道100!能够被3整除的次数。
100!= 2^97 * 3^48 * 5^24 * 7^16 * 11^9 * 13^7 * 17^5 * 19^5 * 23^4 * 29^3 * 31^3 * 37^2 * 41^2 * 43^2 * 47^2 * 53 * 59 * 61 * 67 * 71 * 73 * 79 * 83 * 89 * 97
可以看到，100!中共有48个3的因子。因此，100!能够被3整除的次数为48次。如果要找到一个不能被3整除的最小整数次幂，可以将48加1，得到49。因此，100!除以3的49次方才会除不尽。。。

Answer 2

为了求出100!中有多少个因子3，我们可以将100!中所有可以被3整除的数的质因子分解中的因子3的个数加起来。100!中所有可以被3整除的数共有33个（3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99），其中每个数至少有一个因子3。有11个是3的平方倍数（9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99），每个数至少有两个因子3；3个数是3的三次方倍数（27,54,81），有3个因子3；1个数是3的四次方倍数（81），有4个因子3；所以总共有33+11+3+1=48个因子3。因此，100!除以3的49次方才会除不尽。本回答被网友采纳

Answer 3

为了求出100!中有多少个因子3，我们可以将100!中所有可以被3整除的数的质因子分解中的因子3的个数加起来。100!中所有可以被3整除的数共有33个（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99），其中每个数至少有一个因子3。33个数中有11个是3的倍数（3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33），每个数至少有一个因子3；11个数中有3个是3的平方倍数（9，18，27），每个数至少有两个因子3；1个数是3的三次方倍数（27），有3个因子3；所以总共有44个因子3。
因为100!中有44个因子3，所以100!除以3的次数至少是44次，因此100!除以3的次数至少为44次。