常见的泰勒展开式

Question

如题所述

Answer 1

常见的泰勒展开式如下：

泰勒公式展开式：一个函数N阶可导，则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X。

f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数，0X表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小。用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!，而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例。

泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数，也可由已知的函数的导数值推出原函数多用于求极限问题。比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限，f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x=1+x+x/2。

那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2用导数定义去理解，f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x-\u003ex0。那么就有当x-\u003ex0时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)，lim f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小。

Answer 2

常见的泰勒展开式有：
1. e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
2. ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)
3. sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)
4. cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (∞<x<∞)
5. arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)
6. arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
这些泰勒展开式都是常用的数学公式，在数学分析、物理计算等领域都有广泛应用。