分段函数在分段点的左右导数

Question

如题所述

Answer 1

你是说不能用诸如（2x）'=2；（x²）'=2x这类函数求导公式？
因为这些公式有个前提，那么就是函数是连续的。
比方说（2x）'=2成立的前提是，2x这个函数在任何点都是连续的。所以才能使用。
如果不连续，例如f（x）=2x（x≠0）；1（x=0），很明显这个函数在x=0点处不连续，不可导。但是在两边仍然用（2x）'=2的方式求，就会得到左右导数相等，函数在x=0点可导的错误结论。
所以采用求导公式，必须先证明函数在分界点是连续的，才能使用。没有证明连续之前，不能直接使用。
而导数的定义公式本身，已经隐含了连续的要求。即不连续的函数在间断点用定义公式，求不出导数来。所以如果采用定义公式的话，就可以不先证明连续，直接把连续和求导一次性做了。

Answer 2

分段函数的求导，在其连续区间，可用初等函数微分法求解；在其间断点处一般用导数定义求解。只有当分段函数在其分段点处满足一定条件时，才可不必用导数定义求解，而可用导函数取极限的相对简便方法求解。