导数问题！急急急！

Question

我知道我脑残了…但是我得在暑假结束前预习完导数！……我真的搞不清楚了…1，为什么[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=cf'(x)？为什么啊？详细告诉我可以吗？2，[f(x)]'和f(x)'和f'(x)有什么区别？3，高二要求掌握基本初等函数的导数公式怎么推导出来的吗？谢谢大家，帮帮我吧！尽快！谢谢！

Answer 1

~~~~~~~~~~这里为你详细解答；~~~~~~~~~~~~~~

1. c是常数，它的导函数0，所以c'=0 可推出c'f(x)=0，所以也就是cf'(x)咯，即[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'=c[f(x)]'+0=cf'(x)

2.，[f(x)]'和f'(x)这两种是同种意义 前者展开就是后者了。

然而没有f(x)'这种形式呀~ 再看看是不是~~~~

3.证：1..y=c(c为常数) y'=0
显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2..y=x^n y'=nx^(n-1)
这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。
可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx&8226;(nlnx)'=x^n&8226;n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)&8226;lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

【哇~打了这么多，说得这么详细，不把分分给我楼主太狠心了啊~~~~~呵呵 开玩笑的，希望你都看得明白~学习进步】 O(∩_∩)O~

Answer 2

1.
根据导数求导公式：(uv)=u'v+uv'
[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'
其中c是常数，其导数＝0,故c'f(x)+c[f(x)]'＝c[f(x)]'

2.
[f(x)]'就表示对f(x)求一阶导数，也简写为：f'(x)
故二阶导数也简写为f''(x)

但导数没有“f(x)'”这种写法！

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