二项式定理展开式各项系数之和

Question

如题所述

Answer 1

二项式定理是高中数学中一个非常重要的定理，它可以将一个二次式写成两个一次式的和，方便了我们的计算。而二项式定理展开式各项系数之和则是对定理的另一种解读，从中我们可以看到一些数学美感。
二项式定理的公式是：$$(a+b)^n=\sum_^n\binoma^b^k$$ 其中，$\binom$表示从$n$个元素中选$k$个的组合数，也可以表示为$\frac$。这个式子的意思是将$(a+b)$乘$n$次，每一项中$a$和$b$的次数之和都是$n$，然后把它们相加。
如果我们把这个式子展开，可以得到$$\begin(a+b)^n&=\binoma^n+\binoma^b+\cdots+\binomb^n\\&=a^n+na^b+\fraca^b^2+\cdots+nb^+b^n\end$$ 我们把每一项系数前的组合数拆开，得到了展开式的形式。其中，$\binom$的系数是$a^n$，$\binom$的系数是$na^b$，以此类推。这些系数被称为二项式定理展开式的各项系数。
现在我们来计算一下这些系数的和：$$\begin\sum_^n\binom&=\binom+\binom+\cdots+\binom\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\frac+\frac+\frac+\cdots+\frac\\&=\sum_^n\frac\end$$ 最后一步等式是因为$\frac=1$，$\frac=1$。
我们发现，二项式定理展开式各项系数之和正好等于$2^n$。这是因为$(a+b)^n$中一共有$n+1$项，每一项的系数都是由二项式定理中的组合数$\binom$决定的，而组合数的个数正好是$2^n$。
这个结论非常有趣，也很美妙。它展示了数学中的一些奇妙对称性和美感，也让我们更加深入地理解了二项式定理。