推导如何利用1个N点DFT计算出1个2N点实序列DFT过程

Question

数字信号处理DFT相关的题目不会解答，希望有关高手帮帮忙，尽快给出答案多谢！

Answer 1

先将两个N点的序列构成复数序列，然后DFT就行了
w(n)=x(n)+J *h(n)
对复序列求L点的FFT
W(k)=DFT(w(n))=X(k)+j*H(k)
在这里值得注意的就是：X(k)并不是的实部，H(k)也不是的虚部。因为X(k)和H(k)都是复值的。再利用共轭对称性，先求出的共轭复数W*(k)，再反褶。得到：
X(k)=(W(k)+W*(n-k))/2 提取共轭对称部分就是原来实部的傅里叶变换
H(k)=(W(k)-W*(n-k))/2j 提取共轭反对称部分就是虚部的变换

Answer 2

在正式的解释之前，先给出一个结论：对于任意的信号，其离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)为，则的共轭信号为。若两点实序列分别为和，其DFT分别为和，构造复数信号根据DFT的性质知[线性性质]由可以构造出对上式两边进行DFT变换，得到同理得到其中可通过快速傅立叶变换得到(Fast Fourier Transform, FFT)，因此能够通过一次点FFT和简单的四则运算得到两个长度为的实数序列的DFT。下面简单证明开始提出的结论，即对于任意的信号，其离散傅立叶变换(DFT)为，则的共轭信号为。的DFT为其中为序列长度，。则的DFT为其中，第二个等号到第三个等号之间用到虚数的基本性质