艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。
艾森斯坦判别法是判别整系数多项式在有理数域上不可约的一种方法。它因使用方便而在讨论有理数域上的多项式的因式分解时常用，具有实际价值。
例如对于素数p，多项式1+x+...+x^{p-1}是p阶分圆多项式，求证这个多项式不可约。如果直接使用艾森斯坦判别法，可以发现这个多项式并不满足条件，这里也说明了这个方法不是判定多项式是否可约的必要条件。
艾森斯坦判别法的适用条件
艾森斯坦判别法一直是判别整系数多项式在有理数域上不可约的主要手段。艾森斯坦判别法(Eisenstein)设是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得(1)不整除，(2)，(3)不整除，那么f(x)在有理数域上是不可约的。
艾森斯坦判别法对某些整系数多项式不能直接应用，但可以经过代换来应用。在有理数域上不可约当且仅当在有理数域上不可约。这样对于某些不能直接应用艾森斯坦判别法的整系数多项式，通过适当的代换x=y+k就可以用艾森斯坦判别法来判断。
但是，对于一些整系数不可约多项式，不一定能找到整数k和素数p，使g(y)=f(y+k)满足艾森斯坦判别法的条件。
艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。由高斯引理推出，这种好用的判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。
艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+等等+a0。如果存在素数p，使得：
p不整除an，但整除其他ai，（i=0，1，等等，n-1）。p² 不整除a0。那么f(x)在有理数域上是不可约的。
艾森斯坦判别法应用：
假设给了多项式g(x) = 3x²+ 15x + 10，试确定它是否能分解为有理系数多项式之积。
试用艾森斯坦判别法。素数2和3都不适合，考虑素数p = 5。5整除x的系数15和常数项10，但不整除首项3。而且5² = 25不整除10。所以g(x)在有理数域不可约。
有时候不能直接用判别法，或者可以代入y = x + a后再使用。
比如考虑h(x) =x+ x + 2。这多项式不能直接用判别法，因为没有素数整除x的系数1。但把h(x)代入为h(x + 3) = x + 7x + 14，可立刻看出素数7整除x的系数和常数项，但7= 49不整除常数项。所以有时通过代入便可以用到判别法。
艾森斯坦判别法得出的一个著名结果如下：
对素数p，以下多项式在有理数域不可约。要使用艾森斯坦判别法，先作代换x=y+ 1。新的常数项是p，除首项是1外，其他项的系数是二项式系数，k大于0，所以可以被p除尽。
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