MIT微分方程与线性代数的独门秘籍：待定系数法的探索
在MIT的《微分方程与线性代数》课程中，2.6章节深入探讨了一种解决常系数二阶微分方程的高效策略——待定系数法。这种方法的关键在于寻找那些“良好”函数，它们的响应特性使得求解过程变得简洁明了。
首先，我们来看待定系数法如何在实践中应用。以指数函数为例，它是理想的“好函数”，其解的形式清晰可见，如 ，通过代入解函数，我们可以迅速求得 。对于输入为多项式函数的情况，同样可以采用这种方法，试函数的选取至关重要。
三角函数也是好伙伴，如 ，只需将 代入原方程，即可找到特解。更为复杂的是，我们可以通过组合“好函数”，如 ，构造复合试函数，这种方法同样适用。
“好函数”的本质在于它们的导数形式与原函数相同，如指数函数和多项式。在后续课程中，拉普拉斯变换将揭示它们的更多魅力。待定系数法的核心思想是预先设定解的可能形式，然后通过回代求解待定的系数，以适应特定的输入函数。
实战演练：待定系数法的实例解析
举个例子，对于微分方程 ，零解（齐次解）为 和 ，接下来的任务是寻找特解。我们假设特解的基本形式为 ，将其代入方程，会得到 ，从而求得特解。在这个过程中，特殊值s可能会引发“共振”现象，这时需要调整特解为 ，这是通过洛必达法则求得的。
“好输入函数”的种类有限，但它们在实际问题中却屡见不鲜。总结来说，这些函数包括但不限于指数、多项式、三角函数和它们的组合，它们为待定系数法提供了强大的解题工具。
挑战新高度：常数变易法的登场
然而，当面对系数随时间变化的二阶常微分方程时，我们需要采用另一种方法——常数变易法。这种方法引入了积分，将源函数的影响融入解的表达式。以方程 为例，其零解为 ，通过和 的线性组合构造特解，得到关于 和 的方程组。
最终，我们发现响应函数是输入函数与一个增长率的积分，这个增长率即为脉冲响应，它揭示了系统对瞬时输入的响应特性。这就像在时间T时施加一个大小为 的脉冲，其影响在t-T的区间内按脉冲响应规律累积，形成解函数的完整表达。
无论是初阶的一阶微分方程，还是二阶的复杂问题，待定系数法和常数变易法都为我们提供了有力的工具，让我们更深入地理解微分方程的世界。