设f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（2）=0，证明：至少存在一点ξ∈（1，2），使得ξf′（

Question

设f（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f（2）=0，证明：至少存在一点ξ∈（1，2），使得ξf′（ξ）lnξ+f（ξ）=0．

Answer 1

令F（x）=f（x）lnx．
因为f（x）、lnx在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，
故F（x）在[1，2]上连续，在（1，2）内可导．
对F（x）利用拉格朗日中值定理可得，
至少存在一点ξ∈（1，2），使得：F（2）-F（1）=F′（ξ）（2-1）=F′（ξ）．（*）
又因为F′(x)＝f′(x)lnx+f(x)?

1

x

，f（2）=0，
所以F′(ξ)＝f′(ξ)lnξ+f(ξ)?

1

ξ

，F（2）=F（1）=0，
从而，由（*）式可得：f′(ξ)lnξ+f(ξ)?

1

ξ

＝0，
即：ξf′（ξ）lnξ+f（ξ）=0
所以，至少存在一点ξ∈（1，2），使得　ξf'（ξ）lnξ+f（ξ）=0．