设a为实数,函数f(x)=x 2 +|x-a|+1,x∈R.(Ⅰ)若f(x)是偶函数,试求a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求f(x)的最小值;(Ⅲ)王小平同学认为:无论a取何实数,函数f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明理由.
(Ⅰ)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)在R上恒成立, 即(-x) 2 +|-x-a|+1=x 2 +|x-a|+1, 化简整理,得ax=0在R上恒成立,∴a=0. (Ⅱ)由(Ⅰ)知a=0,∴f(x)=x 2 +|x|+1, ∵x 2 ≥0,|x|≥0,∴f(x)≥1,当且仅当x=0时,f(x)=1, ∴当x=0时,f(x)的最小值为1. (Ⅲ)王小平同学的观点是正确的. 若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x)在R上恒成立, ∴f(0)=-f(0),∴f(0)=0, 但无论a取何实数,f(0)=|a|+1>0, ∴f(x)不可能是奇函数. |