一阶线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)的通解公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

解：先算对应的齐次方程的解。

y'+P(x)y=0
y'/y=-P(x)
lny=-∫P(x)dx+C

y=ke^(-∫P(x)dx)

下面用常数变易法求解原方程的解。

设k为u(x)
y=u(x)e^(-∫P(x)dx)

y'=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)
代入得：
Q(x)
=u'(x)e^(-∫P(x)dx)-u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)+u(x)P(x)e^(-∫P(x)dx)

u(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C

y=e^(-∫P(x)dx)(∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C)