如何判断一个数是完全平方数

Question

如题所述

Answer 1

对于一个比较大的整数，比如：23916，一共有5位数字，假设它是完全平方数，那么它的平方根应该是一个3位数，因为100的平方是最小的5位数。

同时，这个平方根应该小于200，因为200的平方是40000比原数大。取个中间数150，因为已知15的平方是225，所以很容易算出150的平方是22500，比原数小。

同理，算出160的平方是25600，比原数大。所以，如果24346时一个完全平方数，它的平方根应该大于150且小于160。完全平方数，凡是个位为6的，其平方根个位必为4或6。

计算154的完全平方，等于 23716 比 23916 小200，计算156的完全平方，等于 24336 比 23916 大420，所以23916不是完全平方数。

扩展资料

应用：

有多少个正整数n，使n!+2019是完全平方数，注：n!=1*2*…*n,即n的阶乘。

讲解思路：这道题属于完全平方数问题，要判断一个数是完全平方数，除了严格验证外，目前还没有完善的方法。但要判断一个数不是完全平方数，有很多种性质可以用，

这里采用除以4的余数来判别。由于n!具有十分特别的性质，因此总的解题思路是：先判断当n>=4时的情况，然后对n<4时的3个数逐一验证。

步骤1：

先思考第一个问题，

当n大于等于4时，

n!+2019除以4的余数是多少。

此时n!=1*2*3*4…*n,

故n!是4的整数倍，

而2019除以4的余数是3，

因此n!+2019除以4的余数是3。

步骤2：

再思考第二个问题，

当n大于等于4时，

n!+2019可能是完全平方数吗。

此时n!+2019是奇数，

如果它是完全平方数，

则存在某自然数k，

使n!+2019=(2k+1)^2

=4k^2+4k+1,

显然该数除以4的余数为1，

这与步骤1的结论想矛盾，

因此不是完全平方数。

注：k^2表示k的平方。

步骤3：

再思考第三个问题，

考虑原题目的答案。

从步骤2直到n小于4，

下面对n=1,2,3分别讨论：

当n=1时，

n!+2019=2020不是完全平方数；

当n=2时，

n!+2019=2021不是完全平方数；

当n=3时，

n!+2019=2025=45^2，

是完全平方数。

所以原题的答案只有n=3。

Answer 2

完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。而一个完全平方数的项有两个。注意不要与完全平方式所混淆。
例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质:
性质1:末位数只能是0,1,4,5,6,9。
(此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为"一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数"，0为整数，故0是完全平方数)
性质2:奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一:
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后，得
综上各种情形可知:奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。
性质3:如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之也成立
证明 已知
，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
或
即
或
∴ k为奇数。
推论1:如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2:如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4:偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为
性质5:奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。
(奇数:n比那个所乘的数-1;偶数:奇数:n比那个所乘的数-2)
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到 是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6:形式必为下列两种之一:3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类:3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得
同理可以得到:
性质7:不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。
性质8:形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加:1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题:
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质:
性质9:数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质:
性质10:为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。
证明 充分性:设b为平方数，则=(ac)
必要性:若为完全平方数，=，则
性质11:如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12:在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
即若
则k一定不是整数。
性质13:一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

Answer 3

完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。
例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）
性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后，得
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立
证明 已知
，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
或
即
或
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）
在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到 是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。
性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得
同理可以得到：
性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。
性质8：形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则=(ac)
必要性：若为完全平方数，=，则
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
即若
则k一定不是整数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
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Answer 4

Answer 5

完全平方数？

首先，背下1-20的平方数，因为常用。

然后牢记以下规律：
完全平方数，凡是个位为0的，其平方根个位必为0
完全平方数，凡是个位为1的，其平方根个位必为1或9
完全平方数，凡是个位为4的，其平方根个位必为2或8
完全平方数，凡是个位为5的，其平方根个位必为5
完全平方数，凡是个位为6的，其平方根个位必为4或6
完全平方数，凡是个位为9的，其平方根个位必为3或7

然后，对于一个比较大的整数，比如：23916
一共有5位数字，假设它是完全平方数，那么它的平方根应该是一个3位数，因为100的平方是最小的5位数。
同时，这个平方根应该小于200，因为200的平方是40000比原数大。
我们不妨取个中间数150，因为已知15的平方是225（你背了），所以很容易算出150的平方是22500，比原数小。
同理，算出160的平方是25600，比原数大。
所以，如果24346时一个完全平方数，它的平方根应该大于150且小于160。
完全平方数，凡是个位为6的，其平方根个位必为4或6。
计算154的完全平方，等于 23716 比 23916 小200，
计算156的完全平方，等于 24336 比 23916 大420，
所以23916不是完全平方数。

对于一个位数较多的小数，比如：2.4336，2.43360和24.336.
小数点后位数为单数且“最后一位不为0”的数，一定不是完全平方数；小数点后位数为偶数的数，可能是完全平方数，比如：24.336小数点后位数为3，一定不是完全平方数；
但2.43360小数点后位数为5，却可能是完全平方数；
2.4336小数点后位数为4，可能是完全平方数。
判断一个小数是不是完全平方数比较常用的方法是“百倍扩大”也叫“移位法”，即把原数小数点向右移动“双数”位，直至小数变为整数，计算新整数的平方根，再把小数点按“百倍扩大”的次数移回，如：2.4336 小数点向右移动4位（两次“百倍扩大”）变为24336，计算24336的平方根（156），小数点左移两位（1.56）即为2.4336的平方根。

分数，只要
分子
分母都是完全平方数，这个分数就是完全平方数，反之，只要有一个不是，这个分数就不是完全平方数。